Вы здесь

Дополнительные задачи к 4-й неделе

27 сообщений / 0 новое
Последнее сообщение
Аватар пользователя Барышева
Барышева
Эксперт по физике и AutoCAD
Не в сети
Дополнительные задачи к 4-й неделе

Задачи только для желающих совершенствоваться.

№1. Полк солдат Деревянной Армии Урфина Джуса движется по Дороге, Вымощенной Желтым Кирпичом со скоростью V, образуя колонну длиной L. Находящийся в хвосте колонны главнокомандующий посылает вперед Филина Гуамококинда с приказом уменьшить скорость движения в 2 раза. Скорость филина в 2 раза больше скорости колоны. Каждый солдат выполняет приказ лишь в тот момент, когда филин пролетает мимо него. Какова будет длина колонны после того, как приказ будет выполнен полностью?

№2. Один из слушателей МООС предложил лектору посоревноваться в плавании. В ответ лектор поставил свои условия: соревнования проходят по разным дистанциям: один проплывает 200 м по спокойному озеру, а другой - по реке: 100 м вниз по течению и 100 м вверх (на первой половине пути река «помогает» участнику, на второй - «мешает»). Честные ли это соревнования? Какую дистанцию выберет преподаватель?

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Задача№1. Для начало можно определить за какое время филин достигнет "головы" колонны.

Затем сколько за это время пройдёт "головной" и "хвостовой".

Рассчитать  расстояние между итоговым положением "хвостового" и положением  "головного" в начальном положении филина = x.

Сложив расстояние пройденное "головном" с x-ом получим результат.

Задача№2. связанна с задачей для самостоятельного решения из курса 3. Скорость

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

"Сложив расстояние пройденное "головном" с x-ом получим результат"  -  по-моему,  это  не совсем  правльно.Но  лучше  бы  написать  формулу....

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Извиняюсь за опечатку. А складывал я потому, что разность скорости филина и скорости "головного" больше новой скорости "хвостового", ведь филин раньше достигнет "головного", чем "хвостовой" достигнет того места где находился "головной" когда начал движение филин:2U-U>1/2U.

В противном случае,согласен, нужно было бы отнимать.

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Николай,  дорогой, но  почему  Вы не хотите просто  все  решить в  буквах?

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

В ответ на вопрос цитата:"Напоминаем, что выкладывать в открытый доступ решения и ответы не следует, а вот коллективные «мозговые штурмы» приветствуются."

Ну а решение следующее: Задача№1. Для начало можно определить за какое время филин достигнет "головы" колонны L/(Vфилина-Vколонны), так как скорость филина в два раза больше скорости колонны, то искомое время будет равно L / V .

Тогда за это время "головной" солдат пройдёт (L / V)*V=L

Урфин Джус за то же время со своей 1/2V скоростью пройдёт расстояние 1/2L. Такое же расстояние останется до начального положения "головного" солдата то есть времени вылета филина.

Суммируем и получаем: Ответ: 1,5L

Аватар пользователя Барышева
Барышева
Эксперт по физике и AutoCAD
Не в сети

Nicolaj, в открытый доступ не следует выкладывать ответы и решения обязательных задач, поэтому и была придумана эта ветка, чтобы обсуждать и решать вместе разные интересные задачи.

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Угу ))).  Но  я бы  решал  эту  задачу  с  точки  зрения   солдат, идущих  в первых  рядах  колонны...

"Напоминаем, что выкладывать в открытый доступ решения и ответы не следует, а вот коллективные «мозговые штурмы» приветствуются." -  думаю,  ч то это, скорее относится к  "обязательным" задачам :)).

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Я бы, пожалуй,  подкинул  еще  проблемку: попробуйте  придумать  задачку, аналоичную (или  просто похожую) домашней  задаче  про векторы, ортогональные заданному, но для случая 4х-мерного (а может быть  кто-то придумает  и для  N-мерного) евклидового пространства... Успехов! ;))

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Вот задача для четырёхмерного пространства (ниже в виде картинки значения векторов).

Построить вектор С, ортогональный (А, В), длина которого равняется 13.

W четвёртое измерение.

  • Задача имеет единственное решение
  • Задача не имеет решений
  • Задача имеет бесконечное множество решений
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: (Сy)2= 169+ (Cx)2+ (Cz)2+ (Cw)2
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: (Сy)2= 169+ (Cx)2- (Cz)2- (Cw)2
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: y)2= 169- (Cx)2- (Cz)2- (Cw)2
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию:y)2=  (Cx)2+ (Cy)2+ (Cw)2-169
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: (Cx)2+ (Cy)2+ (Cz)2+(Cw)2≤169
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: (Cx)2+ (Cy)2+ (Cz)2+(Cw)2>169
  • Компоненты вектора С должны удовлетворять требованию: (Cx)2+ (Cy)2+ (Cz)2+(Cw)2≥169
Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

C N мерным пространством пришлось бы повозиться, в том случае если длина предполагается рациональной.

В помощь можно использовать сумму такой последовательности.

x2+y2+(xy)2+ ((x+y)(xy))2+((x+y+xy)(x+y)(xy))2+..... где каждый последующий член равен произведению суммы с первого по предпредыдущий на предыдущий, сумма же равна квадрату последнего члена увеличенного на единицу.

Замечания: x=3,y=4. Также часть последовательности можно сократить найдя сумму начиная с первого до некоторого. Пример 52+122=132

 

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Николай, я что-то е  понимаю Вашего условия "ортогональный (А, В)". Что означает операция  ( , ) ?  Скалярное  произведение или  совокупность из двух векторов, каждому  из  которых  С должен  быть ортогонален?

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Уточняю: ( , ) - скалярное произведение векторов.

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Дорогой Николай!Теперь мне  все сало  совершенно  не понятно. Как Вы  собираетесь  определить  понятие  ортогональность  вектора  и скаляра?Ведь скалярное произведение (А,В) - это ЧИСЛО, а  С- вектор....

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Согласен, затупил. Чтобы не отправлять всё в корзину, предлагаю заменить (A,B) на A+B-D

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Формально  теперь  все ОК. Но возникает  вопрос, если в   трехмерном  случае в  качестве  ответа подходил любой  радиус-вектор, оканчивающийся  на  окружности радиусом 5, центр  которой  совпадает с  началом координат, а  плоскость ортогональна заданной сумме  векторов, то  как будет  выглядеть  множество  решений  в  этом  (четырехмерном) случае?

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Именно в этом четырёхмерном случае будет "сфера"+ вектор на оси y, но он особняком. Но если вектор бы имел  ненулевые координаты по всем осям то стереометрии явно будет недостаточно.

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети
\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ  ЗАДАЧКА НА ПОНИМАНИЕ  И ВНИМАНИЕ

Нашел  у  себя  оговорку в одном  из примеров в модуле 4.3. Сделано просо  неверное  утверждение. Кто  найдет  первым? :)

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

На сколько я понимаю речь идёт об отрезках проходимых автомобилем, верно написано в дополнений к видео под ним.

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Возвращаюсь к началу этой ветки форума.

Задача№2. Решение:

1. Для начала можно найти среднюю скорость движения по реке. Расстояния одинаковые (100м туда и 100м обратно), но скорости и времена разные. Для неё есть формула нахождения - формула среднего гармонического. По определению среднее гармоническое неравных величин меньше среднего арифметического этих величин равное в нашем случае скорости участника без скорости реки. Соответственно стоило бы выбрать плаванье в озере.

2. Ну а если просто задуматься: река будет помогать пловцу меньшее время чем мешать, а значит не стоит выбирать такой путь 

 

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

А  что будет,  если,  например, скорость  реки  равна  скорости  плывущего. Или  больше? 

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Среднее гармоническое прекрасно объясняет такие случаи:

Если скорости реки и пловца равны по скорость обращается в ноль. 

Если скорость реки больше по вектор скорости будет отрицательным и ему никогда не удастся добраться до цели.

А среднее арифметическое в обоих случаях равно скорости участника без скорости реки.

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Кстати, есть ведь две формулы среднего гармонического выводимые друг из друга.

2/(1/а+1/b)    &   2ab/(a+b)

Если скорость  реки  равна  скорости  плывущего, то для а имеем 2U для b имеем 0. Вторая формула однозначно даст 0, в первой в знаменателе стоит 0 и определённости нет и впомине.

 

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

"формулы среднего гармонического"  -забавно, никогда  не  слышал такого термина :). Однако, из  того,  что я  о  чем-то  не  слушал, НЕ  СЛЕДУЕТ, ЧТО  ЭТОГО  НЕ СУЩЕСТВУЕТ! Но  все же,  что, в конце концов, с  ответом-то? :)

Аватар пользователя Nicolaj
Nicolaj
Не в сети

Весьма полезные формулы благодаря им можно было решить задачу про мальчика и эскалатор, как вы любите - почти не думая :) (шучу!). 

Кстати, искомую формулу в той задаче можно вывести проще: 2L/N0=L/N + L/N разделим на L небольшие преобразования и ву аля искомая формула.

У Я.И.Перельмана: "средняя скорость езды автомобиля, проехавшего между двумя городами туда и обратно с различными скоростями, выражается средним гармоническим для скоростей движения." Заменим автомобиль мальчиком, расстояние между городами эскалатором и получим результат.

А ответ на задачу такой раз невозможно определить среднюю скорость то значит он никогда не доберётся до цели.

Аватар пользователя alch
alch
Преподаватель
Не в сети

Так откуда  все-таки  следует,что соревнования  не  честные? Полный ответ должен выглядеть  примерно  так:

1.  Назовем  честными  соревнованиями такие,  что...

2. Для  описанных  в  условии правил  было  показано, что....  (формула),  где u --скорость реки,  v - скорость  пловца отн. воды, .... (что  еще  нужно ввести, а то  у  Вас  какие-  то a, b, N...).

3. Из  п.п. 1 и 2  следует,  что соревнования являются .... (честными / не честными).

Иначе  Вас поймут  только  2  человека: Вы сами и,  может  быть, я :)