Вы здесь

Пятая недельная задача

14 сообщений / 0 новое
Последнее сообщение
Аватар пользователя Максим
Максим
СПбПУ
Не в сети
Пятая недельная задача

Время летит очень быстро и вот на подходе очередная недельная задача:

Желаю всем удачи!

Аватар пользователя Максим
Максим
СПбПУ
Не в сети

Все посмотрели, но скромно промолчали?

Друзья, кому знаком метод математической индукции?

Если уж так лень решать, хоть лайком поддержите!

Аватар пользователя Юлия
Юлия
Не в сети

Можно ли при решении этой задачи сказать, что раз данное неравенство выполняется для x=x+2, y=y+2 и z=z+2, то оно выполняется и для исходного? Потому что если можно, то нужно просто подставить в оба равенства эти значения, получить, что x+y+z=0 из второго и x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+12=x^2+y^2+z^2+12 из первого. И следовательно x^2+y^2+z^2 больше или равно 12.

Аватар пользователя Максим
Максим
СПбПУ
Не в сети

Не совсем понимаю Вас. Что Вы подразумеваете под:"раз данное неравенство выполняется для x=x+2, y=y+2 и z=z+2"?

Аватар пользователя Юлия
Юлия
Не в сети

Я просто думала, что раз такие равенство и неравенство выполняются для некоторых x, y, z, то должны выполняться и для x+2, y+2, z+2 (таких, что в сумме они дадут 6). Можем ли мы, доказав, что данные выражения справедливы для x+2, y+2, z+2, доказать, что они выполняются для всех x, y, z. Или это совсем не верно и надо искать совсем другое решение?

Аватар пользователя Юлия
Юлия
Не в сети

В общем похоже это не правильно...

Аватар пользователя Caminero
Caminero
Не в сети

Надо рассмотреть нравенство (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2≥0 Дальше все решается элементарно.

Аватар пользователя Вячеслав
Вячеслав
Не в сети

Можно рассмотреть такой вариант.
x + y + z = 6 - это уравнение плоскости. Тогда нормаль к этой плоскости будет определяться вектором (1;1;1)
Соотв., нормаль пересечется с плоскостью в точке (2;2;2). Квадрат длины этого перпендикуляра будет равен 12.
Здесь x^2 + y^2 + z^2 - это квадрат длины любого вектора, который исходит из начала координат и оканчивается на заданной плоскости.

Перпендикуляр к плоскости - это минимальное расстояние до плоскости, тогда и получается что x^2 + y^2 + z^2 >= 12.

Аватар пользователя dekart
dekart
Не в сети

Мне очень понравилось ваше решение. Как жаль, что лайки нельзя ставить!!!:(

Аватар пользователя Вячеслав
Вячеслав
Не в сети

Спасибо! Действительно, Максим недавно предлагал поставить лайк задаче, а как же мы его поставим?

Аватар пользователя dekart
dekart
Не в сети

Доказательство: Докажем 2 леммы: 1) x^2+y^2>=2xy. Мы знаем, что (x-y)^2>=0. Раскроем скобки: x^2+y^2-2xy>=0. Перенесем 2xy в правую часть и получим: x^2+y^2>=2xy Чтд. 2) x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx. Сложим ранее доказанное неравенство из букв x, y, z: x^2 +y^2>=2xy, x^2+z^2>=2xz, y^2+z^2>=2yz. Получим: 2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2xz+2yz. Сократим двойки и получим: x^2+y^2+z^2>=xy+zy+xz Чтд. Воспользуемся 2 леммой. Сначала обозначим x^2+y^2+z^2=s и xy+zx+yz=d для удобства. Далее возведем обе части x+y+z=6. Получаем: x^2+y^2+z^2+2(xy+zy+xz)=36=s+2d. Выразим d: d=18-s/2. Мы знаем, что s>=d, теперь подставляем d и получаем s>=18-s/2 => 1,5s>=18 => s>=12 => x^2+y^2+z^2>=12 Чтд.

Аватар пользователя dekart
dekart
Не в сети

Опечатка: возвести обе части x+y+z=6 в квадрат!!!

Аватар пользователя dekart
dekart
Не в сети

Ставлю гипотетический лайк этой задаче!!!!

 

Аватар пользователя dekart
dekart
Не в сети

Точнее, метафизический:)!!