Domino Tilings
Курс Хит- Математика
Планируется, что основная часть материала будет понятна САМЫМ МАЛЕНЬКИМ, начиная с 1-го или 2-го курса, но должна быть новой и интересной и для взрослых, включая аспирантов.
Спецкурс будет посвящен комбинаторной задаче покрытия областей в кристаллографических решетках - ну, например, шахматной доски любой формы и любого размера - костяшками домино или другими подобными фигурами.
Будет рассказан полный ответ на задачу о существовании такого покрытия, и для нескольких важнейших примеров доказаны формулы о количестве таких покрытий.
Несмотря на элементарность самих задач, их решение послужит поводом увидеть в действии огромное количество разделов алгебры (начиная с линейной алгебры, комбинаторной теории групп, базисов Гребнера,...) и топологии.
В действительности, эта тема теснейшим образом связана с важнейшими моделями статистической физики и имеет нетривиальные взаимодействия со многими другими разделами математики, в частности с теорией вероятности или теорией сложности вычислений, о чем также будет упомянуто.
Про многомерные и неэвклидовы обобщения известно довольно мало, так что простор для самостоятельной исследовательской работы и компьютерных экспериментов здесь огромен.