Вариационное исчисление. Лекция 1

1:11:20 Если f>0 из L1 такая, что существует y>0, δ>0 и y-δ>0, что мера прообраза [y-δ, y+δ] больше нуля, λ(f^(-1)([y-δ, y+δ]))=v>0. Найдём окрестность W границы области определения функции f с мерой меньше v/3, тогда λ(f^(-1)([y-δ, y+δ])⋂C_W)=v* > 2/3 v > 0. C_W=D(f)\W - дополнение окрестности границы до области определения f. Очевидно найдётся бесконечно дифференцируемая функция g с компактным носителем, такая что если x∈f^(-1)([y-δ, y+δ])⋂C_W, то g(x)=1. Обозначим множество ненулевой лебеговой меры O=f^(-1)([y-δ, y+δ])⋂C_W, которое находится на ненулевом расстоянии от границы области определения функции f. I(O) - характеристическая функция множества O.
Справедлива оценка (L)∫ f∙g λ(dx) ≥ (L)∫ (y-δ)∙I(O)∙g λ(dx) ≥ (y-δ)∙v*>0, из которой следует доказательство упражнения.

P.S. Оставлял этот комментарий в youtube, никому он не виден, модераторы его не разблокировали.