Квантовая теория поля как задача по теории операторов. Лекция 4

52:30 Норма этого оператора равна супремуму нормы образа ||a(k)f|| по всем таким f, что ||f||≤1, то есть таким, что ∑1/p! ∫...∫f_p^2dμ^p≤1, можно доказать, что ∑1/(p−1)! ∫...∫f_p^2dμ^p ≤ N (*).
∑∑1/p! ∫...∫f_p^2dμ^p≤N
N≥∑∑1/p! ∫...∫f_p^2dμ^p=∑N/p! ∫...∫f_p^2dμ^p=∑p/p! ∫...∫f_p^2dμ^p+∑(N−p)/p! ∫...∫f_p^2dμ^p≥
≥∑p/p! ∫...∫f_p^2dμ^p=∑1/(p−1)! ∫...∫f_p^2dμ^p.
Норма образа равна ||a(k)f||=√(∑1/p!∫...∫(a(k)f_p+1)^2dμ^p). Рассмотрим отдельно
(a(k)f_p+1)^2=(∫f_p+1(k, k1,..., kp)η(k)dμ(k))^2≤
≤( по неравенству Гёльдера )≤∫f_p+1(k, k1,..., kp)^2dμ(k) ∫η(k)^2dμ(k).
||a(k)f||≤√(∑1/p! ∫η(k)^2dμ(k) ∫...∫f_p+1^2dμ^p+1 )≤√(∑1/p! ∫...∫f_p+1^2dμ^p+1) ||η||_L2≤
≤( по неравенству (*) )≤√N ||η||_L2.
Неравенство выполняется для ∀f с нормой ||f||≤1 из гильбертова пространства, следовательно sup ||a(k)f||≤√N ||η||_L2. Ещё надо доказать, что sup ||a(k)f||≥√N ||η||_L2. Возьмём f такую, что f_p≡0 для всех p кроме p=N, функция f_N(k1, k2, ..., kN)=√N!/||η||_L2^N ∏η(kj), так как ∫...∫(f_N)^2dμ^N=N!, то норма функции единичная ||f||=1.
Найдём образ a(k)f_N:
∫f_N(k, k2,..., kN)η(k)dμ(k)=√N!/||η||_L2^N ∫η(k)^2∏_(j>1)η(kj)dμ(k)=√N!/||η||_L2^(N−2)∏_(j>1)η(kj).
Норма образа равна ||a(k)f||=√(1/(N−1)!∫...∫ N!/||η||_L2^(2N−4)∏_(j>1)η(kj)^2dμ^(N−1))=
=√(N/||η||_L2^(2N−4)∫...∫∏_(j>1)η(kj)^2dμ^(N−1))=√(N/||η||_L2^(2N−4)·||η||_L2^(2N−2))=√N ||η||_L2.
1:05:00 Норма образа равна ||a+(k)f||=√(∑1/(p+1)!∫...∫(a+(k)f_p)^2dμ^p+1).
(a+(k)f_p)^2=(∑f_p(k1,..., ^kj^,..., kp+1)η(kj))^2=
=∑f_p(k1,..., ^kj^,..., kp+1)^2η(kj)^2+∑∑_(i≠j)f_p(k1,..., ^ki^,..., kp+1)f_p(k1,..., ^kj^,..., kp+1)η(ki)η(kj).
||a+(k)f||=√(∑1/(p+1)! ∫...∫(∑f_p(^kj^)η(kj))^2dμ^p+1)=
=√(∑1/(p+1)! ∫...∫( ∑f_p(k1,..., ^kj^,..., kp+1)^2η(kj)^2+∑∑_(i≠j)f_p(^ki^)f_p(^kj^)η(ki)η(kj) )dμ^p+1)=
=√(∑1/p!∫...∫f_p^2dμ^p ||η||_L2^2+∑1/(p+1)!∫...∫∑∑_(i≠j)f_p(^ki^)f_p(^kj^)η(ki)η(kj)dμ^p+1)≤
≤( по норме f и по неравенству Гёльдера )≤√(||η||_L2^2+∑p/p!∫...∫f_p^2dμ^p ||η||_L2^2)≤
≤( по неравенству (*) )≤√(||η||_L2^2+N ||η||_L2^2)≤√(N+1)||η||_L2.
Неравенство выполняется для ∀f с нормой ||f||≤1 из подпространства числа частиц не больше N пространства Фока, следовательно sup ||a+(k)f||≤√(N+1) ||η||_L2.
Неравенство в другую сторону, возьмём такое же f_N как для a(k) и посмотрим на норму ||a+(k)f||.
||a+(k)f||=√(1/(N+1)! ∫...∫( ∑f_N(k1,..., ^kj^,..., kN+1)^2η(kj)^2+∑∑_(i≠j)f_N(^ki^)f_N(^kj^)η(ki)η(kj) )dμ^N+1)=
=√(1/||η||_L2^(2N)||η||_L2^(2N+2)+1/(N+1)!∫...∫∑∑_(i≠j)f_N(^ki^)f_N(^kj^)η(ki)η(kj)dμ^N+1)=
=√(1/||η||_L2^(2N)||η||_L2^(2N+2)+N/||η||_L2^(2N) ||η||_L2^(2N+2))=√(N+1)||η||_L2.