Меня тоже этот вопрос озадачил. Судя по определению, нарушением антисимметричности было бы одновременное присутствие <a,b> и <b,a> при a != b, таким образом мой ответ 1 и 3. Но он не был засчитан как корректный и мне это непонятно. Во втором варианте очевидно есть <2,3> и <3,2>, но в первом и третьем таких пар нет! В третьем могут возникнуть сомнения по поводу наличия <3,3> но в антисимметричных отношениях он допускается.
Глядя на полученные ответы видно, что обозначения ответов некорректны. Например задания 10-13 помечены кружками, что подразумевает 1 правильный ответ, а например задания 1-5 квадратом, что я и думаю ввело большинство в заблуждение. Если вы хотите не отличать сколько же ответов подразумевается -введите только квадраты.
Коллеги, проходил тест по 3-й главе. Случайно в последнем ответе (20 вопрос) выбрал 2 варианта ответа (исправлял предыдущий не верный и забыл снять галку). Логически там 2 вариант выбрать не логично. Тест объемный. Замылился глаз под конец. Возможно ли аппеляцию рассмотреть? Правильный ответ могу прислать скриншотом.
Композиция всегда "читается" справа налево. Говорится "композиция ро на фи", а пишется ϕ∘ρ. Это говорится в видео 2.3 на 16:30 и ещё в нескольких местах.
Нужно строго различать x и {x}. Первое
выражение обозначает сам элемент, а второе — множество, содержащее этот один
элемент.
Это мне понятно. А вот с ∅ я начала путаться.
Я курс прохожу из любопытства. Многие элементарные вещи я просто не знаю или не помню. Приходится самые простые вещи учить заново. С чем-то получается разобраться самостоятельно, читая информацию из других источников или разбирая конкретные примеры. Но многое мне просто непонятно, хотя для других это элементарно.
В проверочном тесте 2.1 в третьем вопросе среди правильных вариантов ответов правильные ∅⊆{∅}, а в другом источнике указано ∅⊆∅ - пустое множество является подмножеством любого множества. Так какая запись верна?
Давайте попробуем разобраться. {x} - здесь x - это элемент множества, а {x} - это само множество, содержащие в данном случае один элемент, т.е. фигурные скобки обозначают множество. Поэтому, ∅⊆{∅} - верно, т.к. представленное множество {∅} содержит элемент ∅, нельзя писать ∅={∅}, т.к. элемент не может равняться множеству; ∅⊆∅ - тоже справедливо, т.к. пустое множество является подмножеством любого множества.
Думаю, что нет, т.к. если вместо х, использующегося в качестве верхнего предела интегрирования, подставить любое число, то выражение получит смысл определенного интеграла. Попробуйте почитать книгу Ю.А. Шиханович "Введение в современную математику" про связанные и свободные переменные.
Проверочный тест 3.3, вопрос 3. Есть сомнения на счёт правильности хода моих рассуждений.
Я рассуждаю так.
Первое высказывание: 0 ⊃ 1 (если я лжец, то я рыцарь). Результат высказывания: истина. Значит, такое мог сказать только рыцарь. И он делает вывод, что он рыцарь (т.е. говорит правду) - значит, такое допустимо.
Второе высказывание: 1 ⊃ 0 (если я рыцарь, то я лжец). Результат высказывания: ложь. Значит, такое мог сказать только лжец. И он делает вывод, что он лжец (т.е. говорит правду) - такое недопустимо.
Нет, не потому :-) Прочитайте внимательно вопрос и подумайте над каждым понятием в нем. Почитайте первую лекцию еще раз, в ней есть ответ на данный вопрос.
Прочитал ещё раз и у меня возник вопрос: что значит "внутренняя структура математического утверждения"? Как я изначально понял, имеется в виду возможность передать указанное высказывание полностью языком логики высказываний, без конструкций естественного языка.
Если вопрос стоит так, то мне кажется, что можно, и ответ будет таким: ∀x A(x,y), x ∈ ℤ, A(x,y) = {x, y | x ∈ ℤ, y ∈ "множество всех простых чисел", y > x}. Но тут я не учитывал понятия "внутренняя структура", с которым я до этого не сталкивался.
Правильным отмечен вариант 2: "Логическими рассуждениями можно получить истину, даже если исходные посылки ложны." Если я правильно понял, то логические рассуждения лишь раскрывают то, что уже заложено в предпосылках (дедукция). Соответственно если предпосылки ложны, то и полученный ответ не может быть истинным. Другое дело, что рассуждения при этом могут быть корректны, но это не одно и то же, что "получить истину" Или подразумевается, что при ложных предпосылках и некорректном рассуждение мы можем получить истину в духе того как "минус на минус даёт плюс"?
Вопрос 9 "Какой вклад в логику сделал Евклид?"
Одним из правильных вариантов отмечен "Использовал метод доказательства от противного." Но как указано в конспекте, таковой использовался ещё в пифагорейской школе. Всё равно это должно считаться вкладом Евклида? Я как вклад воспринимаю новое, которое привнесено. То есть вкладом можно было бы назвать теоремы, которые были доказаны "от противного", но не сам факт использования метода.
Было бы очень здорово (улучшило понимание курса студентами, повысило эффективность общения на форуме за счёт предотвращения многих вопросов, а значит повышения соотношения сигнал/шум) если бы в итоговых тестах, при публикации ответов к каждому из пунктов (как правильных, так и ошибочных) прилагалось пояснение с доказательством - это ведь логика. Тем более, что для ошибочных пунктов часто достаточно привести единственных контрпример.
Спасибо Вам за предложение. Думаю, добавление пояснений к вариантам ответов будет полезно не только в мат логике, но и в других курсах. Возьмем на вооружение!
И еще по вопросу 14 - "Обратное отношение для функции – функция." - в лекции 2.6 на 15:27 говорится, что обратное отношение функции является функцией когда f - биекция => отвечая на вопрос "Укажите правильные утверждения." - можно также утверждать, что обратная функция - функция ровно как, что данное утверждение и не правильно. Соответственно - нельзя утверждать, что обратная функция не функция. Непонятно тогда почему же все-таки "Обратное отношение для функции – функция." - ложно?
Утверждения в математике даются для общего случая, т.е. "Обратное отношение для функции - функция" - это утверждение для общего случая, а для общего случая это утверждение - ложь.
Вопрос по 4 вопросу итогового теста по аксиоматическим.
В качестве правильного ответа указан только вариант 1 (Теорема в формальной аксиоматической теории определяется синтаксически).
Поясните, пожалуйста, почему вариант 3 (В качестве аксиом формальной аксиоматической теории выбираются утверждения, для которых не существуют доказательства.) неверен? Аксиомы ведь действительно не имеют доказательства и выбираются при разборе утверждений именно как базис, дальше которого нельзя спуститься по цепочке доказательств. То есть если в изначально сформулированном наборе формул выходит, что какие-то следуют из других, то они становятся теоремами, а оставшиеся без доказательства утверждаются в качестве аксиом.
И ещё я выше задавал вопрос по итоговому тесту главы 4, который так и остался без ответа.
По тесту 4 я задавал вопрос в разделе "Ошибки и опечатки" и, поскольку реакции не последовало, дал пояснения 16 марта, 2016 - 07:30. На пояснения тоже не было реакции, поэтому в первой попытке не отметил ни одного варианта (все предложенные были неправильные), но ответ был засчитан как неверный, во второй попытке оставалось только отметить неверный вариант, который, как я считал, преподаватели предполагают верным, и этот неверный ответ уже был принят как верный, и я получил полновесный балл за неверный ответ, но я считаю, что честно заслужил этот балл, а возможно, еще и премию, поскольку я не только могу найти правильный ответ, но и могу предсказать, какой именно из неправильных вариантов собьет с толку преподавателей. А теперь что же? У меня и этот балл отнимут? Получится как в тесте 2, вопрос 16 об антисимметричных отношениях, когда мой верный ответ был засчитан как неверный, и я по наивности изменил его во второй попытке, а когда был обнаружен косяк, то мой первый правильный ответ так и не зачли?
По тесту 5 цитата из конспекта (5.1 стр.4):
Доказуемыми формулами называются все аксиомы и формулы, которые можно получить из доказуемых с помощью правил вывода. Доказуемые формулы, которые не являются аксиомами, называются теоремами.
Возможно, что дело в этом. Как говорится, это нужно запомнить, потому что понять это невозможно. :)
Про премию - это интересно :-) Мы подумаем. Ваши баллы (по тесту 4) отниматься не будут (за премию можно посчитать:-)). Простите за невнимательность к Вашим вопросам - мы не хотели Вас обидеть. Старались по максимуму отвечать на вопросы слушателей.
А по тесту 5 - пока Вам писали ответ - тут уже и Ваше письмо :-( Но все-равно, позвольте Вам написать.
Итак, напоминаем, что мы рассматриваем с Вами формальную аксиоматическую теорию. Так вот. Действительно, Евклид в своем труде «Начала» сформировал представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства и являющем собой некую абсолютную истину. Однако, в XIX веке в связи с появлением, например, различных моделей неевклидовой геометрии, это понятие сильно изменилось. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать различный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид. Аксиомы перестали быть очевидными, они могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. Каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой, т.е. для них существуют доказательства. Выбор системы аксиом всегда условен. Одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, в другом случае. Таким образом, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл безусловной истины, то при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. На их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы могут стать теоремами.
Спасибо за ответ. Честно говоря, с моей стороны имела место небольшая провокация, надеюсь, безобидная. В принципе я упрощенно представляю себе аксиому (систему аксиом) как некую точку опоры для рычага, подобно той, о которой мечтал Архимед, чтобы перевернуть Землю. При этом такая точка опоры может быть в свою очередь где-нибудь подвешена, но в рамках задачи абсолютные характеристики не важны, иначе говоря, выбор системы аксиом и является условием задачи.
Например, по условию задачи у меня было два яблока итд. При каких-то дополнительных данных это можно доказать, но тогда получится другая задача.
Итоговый тест по главе 2
Вопрос 16
Пусть A = {1, 2, 3} и заданы три отношения на A. Какие из этих отношений является антисимметричными?
{< 1,1 >, < 1,2 >, < 2,3 >, < 3,1 >}
{< 1,1 >, < 1,2 >, < 2,3 >, < 3,2 >}
{< 1,1 >, < 1,2 >, < 2,3 >, < 3,3 >}
Очень сильное подозрение на некорректную квалификацию ответов.
Солидарен с Вами
Раз уж 9 марта прошло.
Меня тоже этот вопрос озадачил. Судя по определению, нарушением антисимметричности было бы одновременное присутствие <a,b> и <b,a> при a != b, таким образом мой ответ 1 и 3. Но он не был засчитан как корректный и мне это непонятно. Во втором варианте очевидно есть <2,3> и <3,2>, но в первом и третьем таких пар нет! В третьем могут возникнуть сомнения по поводу наличия <3,3> но в антисимметричных отношениях он допускается.
2 марта уже прошло!!! Когда будут видны ответы на Тест 1 ??? Очень интересуют правильные ответы!!!
Сейчас уже должен быть доступен просмотр правильных ответов.
Глядя на полученные ответы видно, что обозначения ответов некорректны. Например задания 10-13 помечены кружками, что подразумевает 1 правильный ответ, а например задания 1-5 квадратом, что я и думаю ввело большинство в заблуждение. Если вы хотите не отличать сколько же ответов подразумевается -введите только квадраты.
Коллеги, проходил тест по 3-й главе. Случайно в последнем ответе (20 вопрос) выбрал 2 варианта ответа (исправлял предыдущий не верный и забыл снять галку). Логически там 2 вариант выбрать не логично. Тест объемный. Замылился глаз под конец. Возможно ли аппеляцию рассмотреть? Правильный ответ могу прислать скриншотом.
В конце курса будет возможно рассмотреть аппеляции. Пока же советуем Вам старательно проходит следующие тесты :)
Проверочный тест к лекции 2.6, вопрос 2. Почему утверждения 4 и 5 правильны? Ведь f−1(ℤ) = ∅ и f−1(6) = ∅, или я не прав?
В итоговом тесте к главе 2 вопрос 16, кажется, имеет неправильные варианты ответов.
Проверяем
Здравствуйте. Проверочное задание 2.3. Вопрос 2
Для композиции вида ϕ∘ρ ни один ответ не подходит. Вопрос имеет смысл при ρ∘ϕ
Следует ли понимать, что нет разницы между композицией вида ϕ∘ρ и вида ρ∘ϕ?
Композиция всегда "читается" справа налево. Говорится "композиция ро на фи", а пишется ϕ∘ρ. Это говорится в видео 2.3 на 16:30 и ещё в нескольких местах.
Спасибо. Видимо пропустила этот момент
Объясните, пожалуйста, разницу между записями ∅={∅} и ∅=∅
Что меняется при добавлении фигурных скобок? К концу 2 главы совершенно во всём запуталась
Везде пишут, что ∅ - пустое множество. Но судя по записи это элемент множества, а само множество отображается как {∅}
Почитайте еще раз конспект лекции 2.1 стр.2. Если опять не совсем будет понятно - пишите, не стесняйтесь :-)
Вы об этом?
Нужно строго различать x и {x}. Первое
выражение обозначает сам элемент, а второе — множество, содержащее этот один
элемент.
Это мне понятно. А вот с ∅ я начала путаться.
Я курс прохожу из любопытства. Многие элементарные вещи я просто не знаю или не помню. Приходится самые простые вещи учить заново. С чем-то получается разобраться самостоятельно, читая информацию из других источников или разбирая конкретные примеры. Но многое мне просто непонятно, хотя для других это элементарно.
В проверочном тесте 2.1 в третьем вопросе среди правильных вариантов ответов правильные ∅⊆{∅}, а в другом источнике указано ∅⊆∅ - пустое множество является подмножеством любого множества. Так какая запись верна?
Давайте попробуем разобраться. {x} - здесь x - это элемент множества, а {x} - это само множество, содержащие в данном случае один элемент, т.е. фигурные скобки обозначают множество. Поэтому, ∅⊆{∅} - верно, т.к. представленное множество {∅} содержит элемент ∅, нельзя писать ∅={∅}, т.к. элемент не может равняться множеству; ∅⊆∅ - тоже справедливо, т.к. пустое множество является подмножеством любого множества.
Спасибо за подробное разъяснение
Проверочный тест 3.1, вопрос 2. Не является ли верхний предел интегрирования тоже связанной переменной?
Думаю, что нет, т.к. если вместо х, использующегося в качестве верхнего предела интегрирования, подставить любое число, то выражение получит смысл определенного интеграла. Попробуйте почитать книгу Ю.А. Шиханович "Введение в современную математику" про связанные и свободные переменные.
Проверочный тест 3.3, вопрос 3. Есть сомнения на счёт правильности хода моих рассуждений.
Я рассуждаю так.
Первое высказывание: 0 ⊃ 1 (если я лжец, то я рыцарь). Результат высказывания: истина. Значит, такое мог сказать только рыцарь. И он делает вывод, что он рыцарь (т.е. говорит правду) - значит, такое допустимо.
Второе высказывание: 1 ⊃ 0 (если я рыцарь, то я лжец). Результат высказывания: ложь. Значит, такое мог сказать только лжец. И он делает вывод, что он лжец (т.е. говорит правду) - такое недопустимо.
Правильно ли я рассуждаю?
В принципе правильно, Но надо рассматривать оба высказывания с обеих сторон: и со стороны рыцаря, и со стороны лжеца
Проверочный тест 4.1, вопрос 1. Почему первый вариант является неверным? Не потому ли, что для обозначения простых чисел не существует символа?
Нет, не потому :-) Прочитайте внимательно вопрос и подумайте над каждым понятием в нем. Почитайте первую лекцию еще раз, в ней есть ответ на данный вопрос.
Прочитал ещё раз и у меня возник вопрос: что значит "внутренняя структура математического утверждения"? Как я изначально понял, имеется в виду возможность передать указанное высказывание полностью языком логики высказываний, без конструкций естественного языка.
Если вопрос стоит так, то мне кажется, что можно, и ответ будет таким: ∀x A(x,y), x ∈ ℤ, A(x,y) = {x, y | x ∈ ℤ, y ∈ "множество всех простых чисел", y > x}. Но тут я не учитывал понятия "внутренняя структура", с которым я до этого не сталкивался.
Подскажите, прав ли я, и если нет, то в чём?
Вопросы по первому итоговому тесту:
Вопрос 1 "Укажите правильные утверждения."
Правильным отмечен вариант 2: "Логическими рассуждениями можно получить истину, даже если исходные посылки ложны." Если я правильно понял, то логические рассуждения лишь раскрывают то, что уже заложено в предпосылках (дедукция). Соответственно если предпосылки ложны, то и полученный ответ не может быть истинным. Другое дело, что рассуждения при этом могут быть корректны, но это не одно и то же, что "получить истину" Или подразумевается, что при ложных предпосылках и некорректном рассуждение мы можем получить истину в духе того как "минус на минус даёт плюс"?
Вопрос 9 "Какой вклад в логику сделал Евклид?"
Одним из правильных вариантов отмечен "Использовал метод доказательства от противного." Но как указано в конспекте, таковой использовался ещё в пифагорейской школе. Всё равно это должно считаться вкладом Евклида? Я как вклад воспринимаю новое, которое привнесено. То есть вкладом можно было бы назвать теоремы, которые были доказаны "от противного", но не сам факт использования метода.
Было бы очень здорово (улучшило понимание курса студентами, повысило эффективность общения на форуме за счёт предотвращения многих вопросов, а значит повышения соотношения сигнал/шум) если бы в итоговых тестах, при публикации ответов к каждому из пунктов (как правильных, так и ошибочных) прилагалось пояснение с доказательством - это ведь логика. Тем более, что для ошибочных пунктов часто достаточно привести единственных контрпример.
Спасибо Вам за предложение. Думаю, добавление пояснений к вариантам ответов будет полезно не только в мат логике, но и в других курсах. Возьмем на вооружение!
Скажите, когда будут открыты ответы на тест " ??? Дедлайн был 9 марта, сейчас уже 14 !!!
Вы можете оперативнее открывать ответы?
Ответы откроем сегодня.
Итоговый тест по главе 2, вопрос 16: правильные варианты совпадают с моими, но ответ засчитан как неверный.
Поддерживаю, у меня такая же картина. То есть это не я неправильно понял, а в тесте ошибка была, получается.
У меня такая же картина по 16му вопросу главы 2
И еще по вопросу 14 - "Обратное отношение для функции – функция." - в лекции 2.6 на 15:27 говорится, что обратное отношение функции является функцией когда f - биекция => отвечая на вопрос "Укажите правильные утверждения." - можно также утверждать, что обратная функция - функция ровно как, что данное утверждение и не правильно. Соответственно - нельзя утверждать, что обратная функция не функция. Непонятно тогда почему же все-таки "Обратное отношение для функции – функция." - ложно?
Утверждения в математике даются для общего случая, т.е. "Обратное отношение для функции - функция" - это утверждение для общего случая, а для общего случая это утверждение - ложь.
Уважаемые слушатели, вопрос 16 из теста №2 теперь у всех корректно засчитан. Спасибо за ваши замечания :)
Глава 2. Вопрос 5.
Определите количество элементов в множестве-степени P(A), если A = {∅,{∅}}
Меня одного смущает, что правильный ответ 4?
P(A) = {∅,{∅},A}
Изначально ответил 3. При повторной попытке исправил на 2 (хоть и понимал, что это ошибочно).
Определите количество элементов в множестве-степени P(A), если A = {∅,{∅}}
∅, {∅}, {{∅}}, {∅,{∅}} - 4 штуки
Верно!
Итоговый тест главы 2, вопрос 18. Думаю что 4-й вариант тоже подходит.
Нет. Там нет -1, которая тоже даёт 1. То есть множество не полное.
В 13 вопросе итогового теста к главе 4 все варианты ложные:
1) неверен хотя бы потому, что не проверяется принадлежность y к цеху
2) неверен в виду того, исключается корректная ситуация x - Петров, а y - Иванов
3) для Иванова и Петрова - высказывание ложно, а они часть универсума
4) аналогично
Примечание: я знаю, какой ответ предполагается тестом (мне его засчитали как правильный), но тем не менее этот ответ некорректен
Спасибо. Вы правы. Подправим :-)
Итоговый тест по главе 5: Вопрос 6, кажется, с неверными ответами.
Поясните свою точку зрения, пожалуйста.
Ммм... боюсь, пояснения будут спойлером. Если вы проверили, что всё правильно, то Ок - возможно я что-то неправильно интерпретировал.
Вопрос по 4 вопросу итогового теста по аксиоматическим.
В качестве правильного ответа указан только вариант 1 (Теорема в формальной аксиоматической теории определяется синтаксически).
Поясните, пожалуйста, почему вариант 3 (В качестве аксиом формальной аксиоматической теории выбираются утверждения, для которых не существуют доказательства.) неверен? Аксиомы ведь действительно не имеют доказательства и выбираются при разборе утверждений именно как базис, дальше которого нельзя спуститься по цепочке доказательств. То есть если в изначально сформулированном наборе формул выходит, что какие-то следуют из других, то они становятся теоремами, а оставшиеся без доказательства утверждаются в качестве аксиом.
И ещё я выше задавал вопрос по итоговому тесту главы 4, который так и остался без ответа.
По тесту 4 я задавал вопрос в разделе "Ошибки и опечатки" и, поскольку реакции не последовало, дал пояснения 16 марта, 2016 - 07:30. На пояснения тоже не было реакции, поэтому в первой попытке не отметил ни одного варианта (все предложенные были неправильные), но ответ был засчитан как неверный, во второй попытке оставалось только отметить неверный вариант, который, как я считал, преподаватели предполагают верным, и этот неверный ответ уже был принят как верный, и я получил полновесный балл за неверный ответ, но я считаю, что честно заслужил этот балл, а возможно, еще и премию, поскольку я не только могу найти правильный ответ, но и могу предсказать, какой именно из неправильных вариантов собьет с толку преподавателей. А теперь что же? У меня и этот балл отнимут? Получится как в тесте 2, вопрос 16 об антисимметричных отношениях, когда мой верный ответ был засчитан как неверный, и я по наивности изменил его во второй попытке, а когда был обнаружен косяк, то мой первый правильный ответ так и не зачли?
По тесту 5 цитата из конспекта (5.1 стр.4):
Доказуемыми формулами называются все аксиомы и формулы, которые можно получить из доказуемых с помощью правил вывода. Доказуемые формулы, которые не являются аксиомами, называются теоремами.
Возможно, что дело в этом. Как говорится, это нужно запомнить, потому что понять это невозможно. :)
Про премию - это интересно :-) Мы подумаем. Ваши баллы (по тесту 4) отниматься не будут (за премию можно посчитать:-)). Простите за невнимательность к Вашим вопросам - мы не хотели Вас обидеть. Старались по максимуму отвечать на вопросы слушателей.
А по тесту 5 - пока Вам писали ответ - тут уже и Ваше письмо :-( Но все-равно, позвольте Вам написать.
Итак, напоминаем, что мы рассматриваем с Вами формальную аксиоматическую теорию. Так вот. Действительно, Евклид в своем труде «Начала» сформировал представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства и являющем собой некую абсолютную истину. Однако, в XIX веке в связи с появлением, например, различных моделей неевклидовой геометрии, это понятие сильно изменилось. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать различный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид. Аксиомы перестали быть очевидными, они могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. Каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой, т.е. для них существуют доказательства. Выбор системы аксиом всегда условен. Одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, в другом случае. Таким образом, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл безусловной истины, то при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. На их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы могут стать теоремами.
Спасибо за ответ. Честно говоря, с моей стороны имела место небольшая провокация, надеюсь, безобидная. В принципе я упрощенно представляю себе аксиому (систему аксиом) как некую точку опоры для рычага, подобно той, о которой мечтал Архимед, чтобы перевернуть Землю. При этом такая точка опоры может быть в свою очередь где-нибудь подвешена, но в рамках задачи абсолютные характеристики не важны, иначе говоря, выбор системы аксиом и является условием задачи.
Например, по условию задачи у меня было два яблока итд. При каких-то дополнительных данных это можно доказать, но тогда получится другая задача.
Не совсем точно, но вот такой образ.
Страницы