1. Известно, что множество вещественных чисел неперечислимо. Это означает, что всевозможные алгоритмы, порождающие числа, не смогут перечислить (породить) их все.
Если a и b — вещественные числа, то каким способом на практике возможно проверить соотношения:
a=b;
a<b;
a>b?
Если и a, и b порождаются некоторыми алгоритмами, то возможно проверить истинность соотношений a<b или a>b. Однако в общем случае результата проверки a=b придётся ждать бесконечно долго (Алгоритм проверки не останавливается! Несмотря на то, что сами a и b порождены некоторыми алгоритмами). Более того существуют такие а и b, которые никакими алгоритмами порождены быть не могут. В этом случае проверка выписанных соотношений не может быть даже начата!
2. Каким способом измеряется расстояние от точки 0 до точки a на вещественной прямой?
Я обсуждал Ваш вопрос с Валерием Ивановичем и вот что он сказал:
"Идеи математического анализа, которые положены в основу традиционного подхода к понятию числа, включают в себя понятие бесконечности. Нет алгоритма, который позволил бы определить все знаки иррационального числа. Но можно определить любое наперед заданное конечное количество знаков. В этом состоит связь между логическим построением основ математического анализа и техникой вычислений. Однако здесь важно четко понимать, что мы имеем дело со сходящимся процессом. Часто критерием окончания вычислительного процесса является то факт, что разность между соседними значениями определяемого числа меньше некоторой наперед заданной величины.
Например, если применить этот критерий к нахождению числа, которое является суммой ряда
1/2+1/3+...+1/n+... то мы придем к выводу, что это некоторое число. Однако доказано, что сумма этого ряда не существует.
Необходимо четко понимать разницу в доказательстве того, что объект существует, и определении численного значения этого объекта. Важным примером таких объектов являются теоремы о среднем, которые доказывают только существование некоторого числа. Можно считать такие доказательства не конструктивными, но это не влияет на суть логических выводов, следующих из теорем.
Также следует заметить, что существуют процессы, называемые стохастическими, результатом которого является определение неизвестного числа с некоторой вероятностью. Не менее сложными для описания являются процессы детерминированного хаоса.
Второй вопрос не достаточно корректен. Если мы имеем дело с физическим определением расстояния, то это делается путем сравнения с эталоном.
Математический подход к определению расстояния между точками основан на установлении того факта, что множество вещественных чисел и точек на прямой имеют одинаковую мощность, то есть между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. "
От себя же я бы хотел добавить, что, хотя мы и рады столь глубокому осмыслению математики, однако, хочу предупредить, что данный курс не способен удовлетворить интерес тех, кто ищет ответы на подобные вопросы, касающиеся основ математики.
Лектор разделил интервалы на два вида: открытые и замкнутые. Проблема в том, что открытые и замкнутые у нас бывают все множества, и на сторонних ресурсах, как правило, не подразделяют таким образом только интервалы, но применяют такую классификацию ко всем множествам. Так к какому понятию в итоге относить "открытые и замкнутые"? К "интервалам" или к "множествам"?
Здесь Валерий Иванович говорит, что мы будем рассматривать множество вещественных чисел и его подмножества= интервалы. Получается замкнутыми или открытыми бывают множества (подмножества).
В лекции 2.5 единичный вектор нормали задан направляющими косинусами (2.57 в соответствующей лекции). Подскажите пожалуйста каким образом так получилось и откуда взялись оба угла? Спасибо.
n- это вектор нормали (длинна любая), вектор n0- это тот же вектор n, но теперь его длинна=1. Мы хотим вычислить координаты вектора n0. Координаты начала этого вектора- это начало координат. Потому координаты вектора это есть координаты конца вектора.
Я постарался набросать рисунок, который, я надеюсь, поможет разобраться. Там всё строится на том, что вектор ОМ, как и вектор n0 - единичный.
Если у Вас остались какие-либо вопросы, или я не до конца ответил (или вообще не ответил) на Ваш вопрос, сообщите. Будем думать над ответом.
Добрый день! У меня ещё один глупый вопрос. Лекция 3.2, вопросы для самопроверки. Вопрос 1: "Какое минимальное количество точек нам необходимо, чтобы задать прямую?" Не достаточно ли одной точки и угла с осью координат?
Уважаемый Бублик, если брать в расчёт только точки (как сформулирован вопрос), то это будет один вопрос, ответ будет совсем другой, если кроме точек мы будем выбирать направление (угол). Тут следует ответить на несколько уточняющих моментов: с какой осью (и это будет самый простой из вопросов), а какую систему координат стоит выбрать, почему именно эту и вообще почему мы считаем, что система координат зафиксирована?
Поэтому система координат- это дополнительная условность, от которой мы хотим абстрагироваться, делая тем самым вопрос более обобщённым.
1. Известно, что множество вещественных чисел неперечислимо. Это означает, что всевозможные алгоритмы, порождающие числа, не смогут перечислить (породить) их все.
Если a и b — вещественные числа, то каким способом на практике возможно проверить соотношения:
a=b;
a<b;
a>b?
Если и a, и b порождаются некоторыми алгоритмами, то возможно проверить истинность соотношений a<b или a>b. Однако в общем случае результата проверки a=b придётся ждать бесконечно долго (Алгоритм проверки не останавливается! Несмотря на то, что сами a и b порождены некоторыми алгоритмами). Более того существуют такие а и b, которые никакими алгоритмами порождены быть не могут. В этом случае проверка выписанных соотношений не может быть даже начата!
2. Каким способом измеряется расстояние от точки 0 до точки a на вещественной прямой?
Уважаемый Narrator.
Я обсуждал Ваш вопрос с Валерием Ивановичем и вот что он сказал:
"Идеи математического анализа, которые положены в основу традиционного подхода к понятию числа, включают в себя понятие бесконечности. Нет алгоритма, который позволил бы определить все знаки иррационального числа. Но можно определить любое наперед заданное конечное количество знаков. В этом состоит связь между логическим построением основ математического анализа и техникой вычислений. Однако здесь важно четко понимать, что мы имеем дело со сходящимся процессом. Часто критерием окончания вычислительного процесса является то факт, что разность между соседними значениями определяемого числа меньше некоторой наперед заданной величины.
Например, если применить этот критерий к нахождению числа, которое является суммой ряда
1/2+1/3+...+1/n+... то мы придем к выводу, что это некоторое число. Однако доказано, что сумма этого ряда не существует.
Необходимо четко понимать разницу в доказательстве того, что объект существует, и определении численного значения этого объекта. Важным примером таких объектов являются теоремы о среднем, которые доказывают только существование некоторого числа. Можно считать такие доказательства не конструктивными, но это не влияет на суть логических выводов, следующих из теорем.
Также следует заметить, что существуют процессы, называемые стохастическими, результатом которого является определение неизвестного числа с некоторой вероятностью. Не менее сложными для описания являются процессы детерминированного хаоса.
Второй вопрос не достаточно корректен. Если мы имеем дело с физическим определением расстояния, то это делается путем сравнения с эталоном.
Математический подход к определению расстояния между точками основан на установлении того факта, что множество вещественных чисел и точек на прямой имеют одинаковую мощность, то есть между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. "
От себя же я бы хотел добавить, что, хотя мы и рады столь глубокому осмыслению математики, однако, хочу предупредить, что данный курс не способен удовлетворить интерес тех, кто ищет ответы на подобные вопросы, касающиеся основ математики.
Лектор разделил интервалы на два вида: открытые и замкнутые. Проблема в том, что открытые и замкнутые у нас бывают все множества, и на сторонних ресурсах, как правило, не подразделяют таким образом только интервалы, но применяют такую классификацию ко всем множествам. Так к какому понятию в итоге относить "открытые и замкнутые"? К "интервалам" или к "множествам"?
Уважаемый janerude, можете уточнить о какой видео-лекции идёт речь?
Конец самой первой лекции (где-то на 10 минуте)
Здесь Валерий Иванович говорит, что мы будем рассматривать множество вещественных чисел и его подмножества= интервалы. Получается замкнутыми или открытыми бывают множества (подмножества).
В лекции 2.5 единичный вектор нормали задан направляющими косинусами (2.57 в соответствующей лекции). Подскажите пожалуйста каким образом так получилось и откуда взялись оба угла? Спасибо.
n- это вектор нормали (длинна любая), вектор n0- это тот же вектор n, но теперь его длинна=1. Мы хотим вычислить координаты вектора n0. Координаты начала этого вектора- это начало координат. Потому координаты вектора это есть координаты конца вектора.
Я постарался набросать рисунок, который, я надеюсь, поможет разобраться. Там всё строится на том, что вектор ОМ, как и вектор n0 - единичный.
Если у Вас остались какие-либо вопросы, или я не до конца ответил (или вообще не ответил) на Ваш вопрос, сообщите. Будем думать над ответом.
Максим, спасибо за ваш ответ, теперь мне понятно.
Добрый день! У меня ещё один глупый вопрос. Лекция 3.2, вопросы для самопроверки. Вопрос 1: "Какое минимальное количество точек нам необходимо, чтобы задать прямую?" Не достаточно ли одной точки и угла с осью координат?
Уважаемый Бублик, если брать в расчёт только точки (как сформулирован вопрос), то это будет один вопрос, ответ будет совсем другой, если кроме точек мы будем выбирать направление (угол). Тут следует ответить на несколько уточняющих моментов: с какой осью (и это будет самый простой из вопросов), а какую систему координат стоит выбрать, почему именно эту и вообще почему мы считаем, что система координат зафиксирована?
Поэтому система координат- это дополнительная условность, от которой мы хотим абстрагироваться, делая тем самым вопрос более обобщённым.
Добрый день, Максим! Спасибо за развёрнутый ответ, теперь мне понятно.