Вы здесь

Математический анализ. Лекция 2

Лекция
Предмет:
Лектор:
Дата записи:
07.09.16
Дата публикации:
29.09.16
Код для блога:

Другие лекции курса

30

Страницы

Комментарии

Аватар пользователя Viktor

46:07 Строим два множества X={x: x≤0 ∨ x>0 ∧ x^na}, их разделяет элемент c=n_√a, a>1. Доказательство существование корня a.
Для любого n (x+ε)^n можно оценить сверху (x+ε)^n < x^n+p_{n−1}(x)ε, где p_{n−1}(x) − некий полином степени n−1, ε<1, p_{n−1}(x)>1 при x>0. Докажем по индукции, база (x+ε)^2 < x^2+(2x+1)ε.
Пусть оценка верна для n, (x+ε)^{n+1}=(x+ε)^n(x+ε) < (x^n+p_{n−1}(x)ε)(x+ε)=
=x^{n+1}+xp_{n−1}(x)ε+x^nε+p_{n−1}(x)ε^21 при x>0.
Теперь найдём ε для X: (c+ε)^n < c^n+p_{n−1}(c)ε < a, ε < (a − c^n)/p_{n−1}(c), ε=1/2 (a − c^n)/p_{n−1}(c),
0< ε < 1 если 0<(a − c^n) < 1
Найдём ε для Y, для любого n (y−ε)^n=y^n(1−ε/y)^n ≥ y^n(1−nε/y)=y^n−ny^{n−1}ε по неравенству Бернулли при ε<1, y≥1.
(c−ε)^n ≥ c^n−nc^{n−1}ε > a, ε < (c^n−a)/nc^{n−1}, ε = 1/2 (c^n−a)/nc^{n−1},
0 < ε < 1 если 0 < (c^n−a) < 1 и c≥1
Если a≥1 и b≥1, то ab≥1, вообще для неотрицательных чисел из a≥c и b≥d следует ab≥cd, так как ab≥cb ∧ cb≥cd ⇒ ab≥cd. Поэтому если a^2<1, то a<1, по индукции доказывается a^n<1 ⇒ a<1, аналогично a^n>1 ⇒ a>1. То есть корень n-ой степени из единицы есть единица.
Докажем единственность элемента n_√a, a≥1, предположим нашлось два корня d и b, d≠b, d^n=a, d^n−b^n=0.
d^n−b^n=d^n(1−(b/d)^n)=0 ⇒ 1−(b/d)^n=0 ⇒ (b/d)^n=1 ⇒ b/d=n_√1=1 ⇒ b=d
Теперь кроме деления и возведения в целую степень мы умеем извлекать корни n_√a.
r1=p/q, r2=m/n, r1^r2=p^(m/n)/q^(m/n)=(n_√p/n_√q)^m. Здесь корни n_√p, n_√q существуют по доказанному, значит дробь n_√p/n_√q существует как и её m-ая степень.

Страницы