Контроль точности приближенных решений для уравнений в частных производных

Этот краткий курс лекций содержит обзор математических подходов и методов разработанных для контроля точности приближенных решений уравнений в частных производных. Рассматриваются их историческое развитие от априорных асимптотических оценок к адаптивным подходам и вычисляемым индикаторам ошибок и, затем, к полностью контролируемым вычислениям с гарантированной точностью. Вторая часть курса посвящена решению следующей проблемы: имеется корректно поставленная краевая (начально—краевая) задача, точное

решение которой неизвестно. Требуется явно оценить расстояние между заданной функцией (приближением) и этим точным решением. Рассматривается два метода. Один основан на использовании интегральных тождеств, определяющих слабое решение задачи. Другой метод основан на использовании методов теории двойственности вариационного исчисления и пригоден для оценки расстояния до минимайзера выпуклой вариационной задачи.