Перенос массы и потоки мер

Основная идея этого цикла лекций – разобраться в следующем вопросе: как «движется» заданная мера под воздействием заданного векторного поля (иначе говоря, как заданное векторное поле переносит массу). В классической ситуации, если речь идет о мерах в евклидовом пространстве и о гладких векторных полях, ответ хорошо известен – векторное поле порождает семейство (поток) мер, удовлетворяющих уравнению неразрывности (закону сохранения массы), это же семейство задает абсолютно непрерывную кривую в пространстве мер с разумной метрикой. Смежный вопрос – как вообще устроены кривые в таком пространстве мер. Это сразу же приводит к рассмотрению случая негладких (скажем, только измеримых) векторных полей. Более того, оказывается естественным рассматривать такие вопросы в метрических пространствах без гладкой структуры (векторные поля при этом можно понимать как дифференциальные операторы на пространстве липшицевых функций). Оказывается, что и такие поля порождают течения, удовлетворяющие уравнению неразрывности (там, где оно имеет смысл). Будут рассмотрены приложения этих вопросов к дифференциальным уравнениям в частных производных и к одномерным задачам Плато-задачам оптимального переноса массы.