Поля Леви

Поля Леви - это обобщение броуновского движения на случай многих параметров, в том числе, и бесконечного их числа. Более точно, гауссовское случайное поле, параметризованное точками метрического пространства, называется полем Леви, если дисперсия разности случайных величин, отвечающих двум произвольным точкам, равна расстоянию между самими точками.

На каких пространствах существует поле Леви? Мы начнем курс подробного разбора этого вопроса, попутно доказав теорему Колмогорова-фон Неймана-Шенберга о классификации однопараметрических групп изометрий гильбертова пространства.

Далее мы рассмотрим бесконечномерное броуновское движение - поле Леви на гильбертовом пространстве. Его свойства неожиданны. Например, его реализации разрывны в любой окрестности любой точки, а зная реализацию в любом шаре, можно восстановить ее целиком. Последнее явление назывют детерминизм Леви.

Программа курса:

— Теорема Колмогорова-фон Неймана-Шенберга.
— Построение полей Леви.
— Свойства реализаций и детерминизм Леви.

Дополнительная литература:

— В.И. Богачёв «Теория Меры»
— J. Lamperti «Probability: A Survey of the Mathematical Theory»
— П. Леви «Стохастические процессы и броуновское движение»
— P. Cartier "Introduction