Предельные теоремы для выпуклых оболочек случайных процессов

Классическая теория экстремумов имеет многочисленные приложения и является одной из важнейших глав теории вероятностей. Основные вопросы в этой теории связаны с изучением асимптотического поведения величин

$<m_n = \min\{X_1,…,X_n\}, M_n = \max\{X_1,…,X_n\},$

где $\{X_k\}$ – заданная последовательность случайных величин.

В предлагаемом миникурсе рассматривается обобщение этой задачи на случай, когда величины $X_k$ заменяются случайными процессами $\{X_k (t), t\in T \}$, а сегмент $[m_n, M_n]$ – выпуклой оболочкой $V_n = \mathrm{conv}\{ X_1(t),…,X_n(t), t\in T\}$.

Оказывается, что в гауссовском случае при широких предположениях с вероятностью 1 существует неслучайная предельная форма, - выпуклое компактное множество, полностью определяемое ковариационными характеристиками исходных процессов.

Будет показано, что в негауссовском случае характер поведения $\{V_n\}$ кардинально меняется: нормированные выпуклые оболочки $\frac{V_n}{b_n}$ слабо сходятся к некоторому случайному выпуклому множеству, которое допускает представление в виде ряда LePage’a.