Введение в метаматематику

Краткое содержание курса:

— Четыре сценария теорем о невозможности в математике («параллельные миры», «недостаточность методов или инструментов», «отсутствие общей формулы», «несуществование нужных объектов»).
— Теории и модели.
— Слабые теории и их модели: обсуждение теоремы Тарского о вещественно-замкнутых полях (без доказательства), Теоремы Пресбургера и т. п.
— Сильные теории и их модели. Основная теорема теории моделей.
— Кризис оснований математики, первые попытки его разрешения (исторический обзор).
— Арифметизация математики и метаматематики. Конструктивная математика.
— Теоремы Гёделя о неполноте (теоретико-модельный подход, доказательство Чайтина, обсуждение).
— Теории, не доказывающие непротиворечивость друг друга, убывающие цепочки недоказуемых утверждений.
— Введение в Теорию Рамсея и теорию Наша-Уильямса. Откуда берётся недоказуемость. Сила теоремы Рамсея для троек.
— Принцип Париса-Харрингтона, доказательство его недоказуемости. Общие методы доказательства недоказуемости.
— Обратная математика, арифметическое расщепление, пространство всех арифметических возможностей.
— Влияние больших кардиналов на арифметику: пример комбинаторного утверждения, недоказуемого без использования больших кардиналов. Доказательство этого утверждения с использованием больших кардиналов.
— «Платонисты» и теория «единственного пути наверх».
— Так кто же прав: платонисты, плюралисты или конструктивисты?

Страница курса на сайте Computer Science Club