Алгебры операторов Лакса

YouTube

Предыстория алгебр операторов Лакса связана с работой И.М.Кричевера о лаксовых уравнениях со спектральным параметром на римановых поверхностях (2001). В ней класс операторов Лакса задан аналитическими условиями, сформулированными в терминах параметров Тюрина голоморфных расслоений, и сформулированы простые соотношения на эти параметры, при которых оператор Лакса задает интегрируемую систему. В 2007, в совместной работе И.М.Кричевера и автора, было обнаружено, что операторы Лакса этого типа образуют ассоциативную алгебру, а если поставить вопрос о ее аналогах для классических групп -- возникают бесконечномерные алгебры Ли токов на римановых поверхностях. В 2013 г., в ходе обсуждений этих вопросов с Э.Б.Винбергом, было найдено общее определение алгебр операторов Лакса в терминах градуировок полупростых и редуктивных алгебр Ли целыми числами. Исчерпывающее описание таких градуировок и многие другие результаты в этом направлении были получены семинаром Э.Б.Винберга и А.Л.Онищика еще в 60-х годах прошлого века. Замечательно, что алгебраические условия в терминах градуировок -- это все необходимое чтобы доказать гамильтоновость и интегрируемость соответствующих лаксовых систем и описать их связь с голоморфными G-расслоениями на римановых поверхностях.

В своем докладе я сосредоточусь на алгебраических аспектах теории алгебр операторов Лакса: их связи с градуировками полупростых алгебр Ли, формулах размерности, вытекающих из теоремы Римана--Роха, почти градуированных структурах и центральных расширениях.