Рассказы о теории чисел. Лекция 1

YouTube

В основном это рассказ о теории чисел. Экспериментальный факт: для теории чисел полезна и нужна вся хорошая математика, а плохая не нужна. План такой: разбираться в теории чисел, а заодно и подучить хорошую математику. Таким образом, у этих лекций есть начало, но, видимо, нет конца...

Постараемся придерживаться следующих принципов:

— учимся математике на примере хороших задач;
— рассматриваем много примеров и «антипримеров».

Кроме того, время от времени будут появлятся учебные задачи, темы для докладов на семинаре и темы для самостоятельной научной работы.

Что делает задачу хорошей или плохой? Например:

Хорошая задача Теорема Ферма

Качество неизвестно Простые близнецы

Плохая задача Проблема 4-х красок

По Манину, задачи о близнецах и задача о 4-х красках не хороши, так как не включены ни в какой контекст. Заниматься «близнецами» очень рискованно.

В качестве нерешенных хороших задач выбрано несколько проблем Гильберта, проблем тысячелетия и несколько других задач.

— Гипотеза Римана.
— Гипотеза Берча–Суиннертона-Дайера.
— 12-я проблема Гильберта и программа Ленглендса.
— Гипотезы Ходжа и Тэйта.
— Вычисление гомотопических групп сфер.

В качестве решенных хороших задач выбраны

— программа Вейля – теоремы Гротендика и Делиня;
— гипотеза Морделла – теорема Фалтингса;
— гипотеза («теорема») Ферма – теорема Вайлса.