Математический анализ. Лекция 1 | Осенний семестр 2020

Юрию Белову и всем причастным огромное спасибо!

Благодарю за полезную информацию. 

22:00 Функция индикатор множества I_{A}(x) равна 1, если x∈A и равна 0 иначе x∉A. С каждым множеством мы можем связать индикаторную функцию.
Очевидно, что I_{A^c}(x)=1−I_{A}(x), I_{A∪B}(x)=I_{A}(x)+I_{B}(x)−I_{A}(x)*I_{B}(x) и I_{A⋂B}(x)=I_{A}(x)*I_{B}(x). Тогда докажем второе правило де Моргана через индикаторные функции:
I_{(A⋂B)^c}(x)=1−I_{A⋂B}(x)=1−I_{A}(x)*I_{B}(x)=2−I_{A}(x)−I_{B}(x)−(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=
=I_{A^c}(x)+I_{B^c}(x)−I_{A^c}(x)I_{B^c}(x)=I_{(A^c∪B^c}(x)
Первое правило де Моргана:
I_{(A∪B)^c}(x)=1−I_{A∪B}(x)=1−I_{A}(x)−I_{B}(x)+I_{A}(x)*I_{B}(x)=(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=I_{A^c}(x)*I_{B^c}(x)=I_{(A^c⋂B^c}(x)
Третье правило A^cΔB^c=AΔB, очевдно I_{AΔB}=I_{A}(x)+I_{B}(x)−2*I_{A}(x)*I_{B}(x)
I_{A^cΔB^c}(x)=I_{A^c}(x)+I_{B^c}(x)−2*I_{A^c}(x)*I_{B^c}(x)=2−I_{A}(x)−I_{B}(x)−2*(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=
=I_{A}(x)+I_{B}(x)−2*I_{A}(x)*I_{B}(x)=I_{AΔB}

22:00 Функция индикатор множества I_{A}(x) равна 1, если x∈A и равна 0 иначе x∉A. С каждым множеством мы можем связать индикаторную функцию.
Очевидно, что I_{A^c}(x)=1−I_{A}(x), I_{A∪B}(x)=I_{A}(x)+I_{B}(x)−I_{A}(x)*I_{B}(x) и I_{A⋂B}(x)=I_{A}(x)*I_{B}(x). Тогда докажем второе правило де Моргана через индикаторные функции:
I_{(A⋂B)^c}(x)=1−I_{A⋂B}(x)=1−I_{A}(x)*I_{B}(x)=2−I_{A}(x)−I_{B}(x)−(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=
=I_{A^c}(x)+I_{B^c}(x)−I_{A^c}(x)I_{B^c}(x)=I_{(A^c∪B^c}(x)
Первое правило де Моргана:
I_{(A∪B)^c}(x)=1−I_{A∪B}(x)=1−I_{A}(x)−I_{B}(x)+I_{A}(x)*I_{B}(x)=(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=I_{A^c}(x)*I_{B^c}(x)=I_{(A^c⋂B^c}(x)
Третье правило A^cΔB^c=AΔB, очевдно I_{AΔB}=I_{A}(x)+I_{B}(x)−2*I_{A}(x)*I_{B}(x)
I_{A^cΔB^c}(x)=I_{A^c}(x)+I_{B^c}(x)−2*I_{A^c}(x)*I_{B^c}(x)=2−I_{A}(x)−I_{B}(x)−2*(1−I_{A}(x) )( 1−I_{B}(x))=
=I_{A}(x)+I_{B}(x)−2*I_{A}(x)*I_{B}(x)=I_{AΔB}