Вопрос по главе 6. Примеры использования математической индукции.

Доказать, что сумма n целых положительных нечётных чисел равна n^2:

1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2

Доказательство: индукция по n

База: n=1

1=1^2

Индукционный переход: n=k

Предположим, что

1+3+5+…+(2k-1)=k^2

Тогда для k+1

1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+2k+1=(k+1)^2

Следовательно, для любого n:

 1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2

Забавно, выражение n2 некоммутативно)) Предлагаю формулировку "                n^2, что означает n*n                 ".

На естественном языке мой вариант (сразу с доказательством, что вообще-то не требовалось):

Утверждаю, что сумма ряда первых последовательных нечетных натуральных чисел равна квадрату их количества. Имею последовательность первых последовательных нечетных натуральных чисел и соответствующую ей последовательность сумм рядов первых последовательных нечетных натуральных чисел. Поскольку имею дело с нумерованной последовательностью, применяю математическую индукцию. База индукции - сумма такого ряда с одним членом равна квадрату единицы, что почти очевидно. Для построения индукционного перехода беру произвольный ряд первых последовательных нечетных натуральных чисел. Пусть его сумма равна квадрату количества членов ряда. Доказываю, что сумма следующего по порядку ряда равна квадрату количества его членов. Нужно заметить, что нечетное натуральное число равно его удвоенному порядковому номеру в последовательности первых последовательных нечетных натуральных чисел, уменьшенному на единицу, что для последнего по порядку числа во взятом мной ряду означает удвоенное количество членов ряда, уменьшенное на единицу. Следующее нечетное число равно удвоенному количеству членов взятого мной ряда, увеличенному на единицу (это всем понятно?). Прибавляя это выражение к квадрату количества членов взятого мной ряда, получаю в точности формулу квадрата суммы двух чисел: количества членов взятого мной ряда и единицы, что означает, что сумма следующего по порядку ряда равна квадрату количества его членов. Индукционный переход верен, утверждение доказано. 

А теперь домашнее задание. Сформулируйте это на языке математической логики, не пользуясь арифметическо-алгебраическими выражениями.

Дело в том, что, согласно моим представлениям, применяемые при доказательстве выражения в основном арифметические. А квадрат, квадрат суммы - скорее алгебра. Языком, так сказать, "начальной алгебры" Вы все прекрасно описали. Чтобы не путать с алгеброй логики и не исключать ее, а равно и алгебру в широком смысле, пришлось как-то так назвать. Все равно не всерьез.