В лекции 2.1, в примере 1. Не понял, откуда взялась 2, почему 2m?
Проиллюстрируем принцип объемности. Множество A всех положительных
четных чисел равно множеству B положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Действительно, если x ∈ A, то для
некоторого целого положительного числа m имеем x = 2m; тогда x = (2m − 1) + 1,
т. е. x ∈ B. Если x ∈ B, то для некоторых целых положительных p и q имеем
x = (2p − 1) + (2q − 1) = 2(p + q − 1), т. е. x ∈ A.
Если m - любое целое положительное число, то 2m - любое целое положительное чётное число. Цифра 2 нужна для того, чтобы показать чётность числа, т.е. то, что оно делится на 2.
Объясните, пожалуйста, поподробнее про составляющие системы множеств (лекция 2.2, диаграммы Венна).
Хочу определить все составляющие для n = 2, для этого руководствуюсь следующим определением из лекций:
Составляющие системы множеств {A1, A2, . . ., An} задаются следующим индуктивным определением.
Базис. Составляющие {A1} суть само A1 и его дополнение.
Шаг. Если S — составляющая {A1, A2, . . ., An−1}, то S ∩ An и S ∩ ¬An — составляющие {A1, A2, . . ., An}.
Итак, n = 2, значит, система множеств у меня такая: {A1, A2}.
Начинаю с базиса. Составляющие A1 - это {A1, ¬A1}. Дальше совершаю шаг. Беру каждую из 2-х составляющих {A1} и получаю ещё 4-ре составляющих {A1, A2}. Всего получаются следующие 6 составляющих: {A1,¬A1, A1∩ A2, A1∩ ¬A2, ¬A1∩ A2, ¬A1∩ ¬A2}.
Правильно ли я делаю? Мне кажется, что нет, и что не хватает ещё составляющих {A2,¬A2}. Ведь, кроме всего прочего, порядок расположения элементов в множестве не должен играть роли, а у меня получается, что порядок влияет на результат. Но на каком шаге индуктивного определения я должен получить эти недостающие составляющие (или как правильно выполнять эти шаги), я не понимаю.
В лекции 2.5 - не могу понять последнюю строку в Порядке Шарковского.
. . . ⩽ 2n ⩽ . . . ⩽ 23 ⩽ 22 ⩽ 2 ⩽ 1.
Это как вообще? Объясните пожалуйста, что это значит. Открыл википедию, но она меня только запутала: области хаоса, энтропия, судьба (!). Эзотерика какая-то прямо.
Данный пример придуман искусственно для показа понятия "линейный порядок". Представленное выражение - одна строка, определяющая порядок элементов (просто для удобства представления это выражение разбито на строки-подстроки). А это значит, что если взять любой элемент, например, из 3-й подстроки, то найдется элемент меньше его (например, из подстроки 2) и больше него (из подстроки 4). Последняя подстрока в данном выражение - это просто так задуманная строка последовательности.
Линейный порядок можно представлять по-разному. Например, можно сначала задать все отрицательные целые числа от -1 до "-бесконечности", потом 0, а потом все положительные целые от 1 до "+бесконечности". И какое бы число из этой последовательности не взяли, то точно можно будет сказать какое число меньше выбранного, а какое - больше. Вот такой "линейный порядок"
Не знаю, как в лекциях, но в pdf не затрагивается вопрос о порядке кванторов. Если курс будет повторяться, возможно в 4.1 или 4.3 следовало бы добавить хотя бы пару строк про разницу между ∀x∃y и ∃x∀y.
В конспекте Модуль_4.5-4.6.pdf стр.3 второй абзац снизу представлен материал про порядок кванторов. Но ... Наверное, надо его более явно выделить. Поэтому обязательно учтем Ваше замечание и дополним материал. Спасибо
Да, я потом дошёл. Просто задание на порядок встречается уже в лекции 4.3. И в модуле 4.5-4.6 немного сложно... Мне кажется, надо разобрать очень простой пример, к примеру ∀x∃y(x + y > 0). (Это я встретил в Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с, параграф 4).
Как часто будут появляться новые лекции?
Раз в неделю. По понедельникам
А где вторая глава?
Уважаемый fedorchelovek, вторая глава будет доступна для изучения в понедельник, а сегодня суббота.
Я уже слышал это. Как-то странно, вопросы появились раньше лекций.
Готовь сани летом!
Я разобрался в ранее заданном вопросе, поэтому удалил его из комментария.
В лекции 2.1, в примере 1. Не понял, откуда взялась 2, почему 2m?
Если m - любое целое положительное число, то 2m - любое целое положительное чётное число. Цифра 2 нужна для того, чтобы показать чётность числа, т.е. то, что оно делится на 2.
Объясните, пожалуйста, поподробнее про составляющие системы множеств (лекция 2.2, диаграммы Венна).
Хочу определить все составляющие для n = 2, для этого руководствуюсь следующим определением из лекций:
Итак, n = 2, значит, система множеств у меня такая: {A1, A2}.
Начинаю с базиса. Составляющие A1 - это {A1, ¬A1}. Дальше совершаю шаг. Беру каждую из 2-х составляющих {A1} и получаю ещё 4-ре составляющих {A1, A2}. Всего получаются следующие 6 составляющих: {A1, ¬A1, A1 ∩ A2, A1 ∩ ¬A2, ¬A1 ∩ A2, ¬A1 ∩ ¬A2}.
Правильно ли я делаю? Мне кажется, что нет, и что не хватает ещё составляющих {A2, ¬A2}. Ведь, кроме всего прочего, порядок расположения элементов в множестве не должен играть роли, а у меня получается, что порядок влияет на результат. Но на каком шаге индуктивного определения я должен получить эти недостающие составляющие (или как правильно выполнять эти шаги), я не понимаю.
Базис. {A1}
Шаг 1. S = A1 – составляющая {A1}. То A1∩ A2 и A1∩ ¬A2 – составляющие {A1, A2}
Конспект лекций 2.3-2.4, пример 2.1
Почему если множество A×B содержит 6 элементов, то существует 26=64 подмножеств множества A×B? Я насчитал только 63, используя Cnk
А Вы пустое множество не забыли посчитать?
Да, забыл. Об этом и в конспекте написано!
В лекции 2.5 - не могу понять последнюю строку в Порядке Шарковского.
Это как вообще? Объясните пожалуйста, что это значит. Открыл википедию, но она меня только запутала: области хаоса, энтропия, судьба (!). Эзотерика какая-то прямо.
Данный пример придуман искусственно для показа понятия "линейный порядок". Представленное выражение - одна строка, определяющая порядок элементов (просто для удобства представления это выражение разбито на строки-подстроки). А это значит, что если взять любой элемент, например, из 3-й подстроки, то найдется элемент меньше его (например, из подстроки 2) и больше него (из подстроки 4). Последняя подстрока в данном выражение - это просто так задуманная строка последовательности.
Линейный порядок можно представлять по-разному. Например, можно сначала задать все отрицательные целые числа от -1 до "-бесконечности", потом 0, а потом все положительные целые от 1 до "+бесконечности". И какое бы число из этой последовательности не взяли, то точно можно будет сказать какое число меньше выбранного, а какое - больше. Вот такой "линейный порядок"
Не знаю, как в лекциях, но в pdf не затрагивается вопрос о порядке кванторов. Если курс будет повторяться, возможно в 4.1 или 4.3 следовало бы добавить хотя бы пару строк про разницу между ∀x∃y и ∃x∀y.
* между ∀x∃y и ∃y∀x.
В конспекте Модуль_4.5-4.6.pdf стр.3 второй абзац снизу представлен материал про порядок кванторов. Но ... Наверное, надо его более явно выделить. Поэтому обязательно учтем Ваше замечание и дополним материал. Спасибо
Да, я потом дошёл. Просто задание на порядок встречается уже в лекции 4.3. И в модуле 4.5-4.6 немного сложно... Мне кажется, надо разобрать очень простой пример, к примеру ∀x∃y(x + y > 0). (Это я встретил в Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с, параграф 4).