Граничная теория случайных блужданий

Классическая формула Пуассона устанавливает взаимно-однозначное соответствие между ограниченными гармоническими функциями в единичном круге и ограниченными измеримыми функциями на граничной окружности. Оказывается, что эта формула естественно переносится в вероятностный контекст и имеет смысл для произвольной цепи Маркова (в случае диска эту роль играет броуновское движение). Возникающая при этом граница определена в измеримой категории и называется границей Пуассона соответствующей цепи. В вероятностных терминах граница Пуассона описывает стохастически значимое поведение траекторий цепи на бесконечности. Изучение границы Пуассона является важным для понимания структуры и свойств любой цепи, но особенно интересным оно становится для случайных блужданий на группах, когда возникает естественное действие группы на границе.

В рамках этого курса мы дадим основные определения, обсудим связь границы Пуассона с алгебраическими и аналитическими свойствами групп, приведем примеры блужданий с тривиальной и нетривиальной границей. Далее мы введем основные численные инварианты групп и случайных блужданий (рост, спектральный радиус, скорость ухода на бесконечность, асимптотическая энтропия), докажем энтропийные критерии тривиальности и максимальности границ и приведем геометрические примеры их применения (гиперболические группы, дискретные подгруппы полупростых групп, модулярные группы Тейхмюллера). Мы также обсудим проблему сингулярности гармонической меры. Изложение будет сопровождаться многочисленными примерами и упоминанием открытых проблем.