Отношения эквивалентности и случайные графы

Понятие инвариантной меры является фундаментальным для теории динамических систем. Классически оно связывается с наличием некоторого преобразования (или группы преобразований) пространства состояний. Тем не менее, то обстоятельство, что инвариантности имеет смысл и в отсутствие какого бы то ни было группового действия (например, для слоений и ламинаций) было уже давно известно топологам. Удивительный факт, открытый Фельдманом и Муром в 70-х годах, заключается в том, что для формулировки многих свойств групповых действий с квазиинвариантной мерой достаточно рассматривать всего лишь соответствующее орбитальное отношение эквивалентности. В рамках построенной ими теории можно говорить об инвариантности или квазиинвариантности мер относительно произвольного счетного отношения эквивалентности.

Структура графа на отношении эквивалентности задается некоторым его подмножеством. Это понятие уже нашло многочисленные применения в эргодической теории, а с недавних пор стало предметом активного интереса вероятностников. Дело в том, что вероятностное пространство, снабженное разграфленным отношением эквивалентности, порождает семейство случайных графов. Если мера инвариантна, то можно говорить о стохастической однородности этого семейства (подобно стохастической однордности реализаций классического стационарного случайного процесса). С другой стороны, можно и непосредственно рассматривать меры на пространстве бесконечных графов, инвариантные относительно естественного отношения эквивалентности. Частным случаем являются инвариантные меры на пространстве подгрупп заданной группы.

Коллоквиум и последующий миникурс будут посвящены обзору этой бурно развивающейся области. Предварительное знакомство с предметом не предполагается. Мы также коснемся ряда смежных вопросов (аменабельность, случайные блуждания, софичность).