Метрическая геометрия и пространства Александрова

Метрическая геометрия - это, по существу, дифференциальная геометрия без дифференцирования. Ее начала восходят работам А.Д.Александрова о внутренней геометрии выпуклых поверхностей. В отличие от аналитических методов, подход Александрова был намного более геометричным - например, кривизна поверхности определялась через суммы углов треугольников. Позже эти идеи были применены к исследованию гораздо более сложных геометрических объектов и привели к созданию теории пространств Александрова. Результаты этой теории применимы и в дифференциальной геометрии, причем передоказать их аналитическими методами бывает очень сложно.

Я расскажу об основных понятиях и некоторых результатах этой области. Планируется сначала разобрать важнейшие примеры и конструкции (сфера, плоскость Лобачевского, конусы, полиэдры и т.д.), а затем перейти к изучению более общих вопросов, таких, как кривизна по Александрову,

гиперболичность по Громову, пределы по Громову-Хаусдорфу, квазиизометричность и т.д. В дополнение к курсу лекций планируется организовать семинар (под руководством Н.Н.Косовского), посвященный решению задач.

Необходимые предварительные знания - основы общей топологии (метрическое пространство, непрерывность, компактность) и анализа (пределы, дифференцирование, интегрирование). Полезно, но не обязательно, знакомство с дифференциальной геометрией поверхностей, выпуклыми множествами и началами алгебраической топологии (а именно, фундаментальными группами и накрытиями).