Самоподобные группы: алгебра, динамика и комбинаторика

Понятие аменабельной группы было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году в связи с исследованиями алгебраической природы парадокса Банаха-Тарского. В дальнейшем аменабельность стала играть фундаментальную роль во многих исследованиях в теории операторных алгебр, геометрической теории групп, динамических системах и эргодической теории, теории случайных блужданий, топологии и геометрии, дискретной математике, дескриптивной теории множеств и других разделах математики. Существует огромное число эквивалентных определений этого понятия, звучащих «на разных языках», от определения Тарского в терминах отсутствия на аменабельных группах схем, аналогичных финансовым схемам Понзи, до вероятностного критерия Кестена в терминах случайного блуждания на группе. Важную роль в исследовании аменабельности играет понятие роста групп, определенный независимо А.С.Шварцем и Джоном Милнором.

В курсе рассказывается как было решено несколько важных проблем, связанных с аменабельностью и ростом, в частности, проблема Милнора о группах промежуточного роста, проблема Дэя о неэлементарной аменабельности, так называемая гипотеза фон Неймана о том,что в неаменабельной группе не может быть свободной неабелевой подгруппы, и проблема Гринлифа о существовании аменабельных действий неаменабельных групп. Ключевую роль в решении этих проблем играет теория так называемых самоподобных групп (называемых также фрактальными группами или группами автоматов), ветвящихся групп и других классов групп, действующих на корневых деревьях.