Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 1

1:06:00 Предположим мы знаем формулу объёма шара радиуса r, Vn(r). Так как объём шара можно представить в сферических координатах как интеграл по радиусу от площадей сфер Vn(r)= ∫Sn(r)dr, то Sn(1)=d/dr Vn(r) |_{r=1}. Попробуем доказать формулу Vn(r)=v_n r^n, где v_n=π^(n/2)/Γ(n/2+1)=2π^(n/2)/(nΓ(n/2)). База индукции V1(r)=2r, v_1=2, индукционный переход Vn+1(r)=2∫_0^r Vn(√(r^2−t^2))dt=2v_n ∫_0^r (r^2−t^2)^(n/2) dt=смотри ...=2v_n √π/2 Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2) r^(n+1). v_(n+1)/v_n = √π Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2) Теперь Sn(1)=d/dr Vn(r)|_{r=1} =n·v_n·r^(n−1)|_{r=1}=n·v_n=nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)=так как Γ(z+1)=z·Γ(z) =2π^(n/2)/Γ(n/2) ...=∫_0^r (r^2−t^2)^(n/2) dt=r^(n+1) ∫_0^r (1−t^2/r^2)^(n/2) d(t/r)=r^(n+1) ∫_0^1 (1−s^2)^(n/2) ds=√π/2 Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2) r^(n+1)? ∫_0^1 (1−s^2)^(n/2) ds= замена s=sin(φ) =∫_0^(π/2) cos(φ)^(n+1) dφ=I_(n+1) Обозначим I_n=∫_0^(π/2) cos(φ)^n dφ Интегрируя по частям I_n=∫_0^(π/2) cos(φ)^(n−1) d(sin(φ))=−∫_0^(π/2) d(cos(φ)^(n−1))sin(φ)=(n−1)∫_0^(π/2)cos(φ)^(n−2)sin(φ)^2dφ=(n−1)∫_0^(π/2)cos(φ)^(n−2)dφ−(n−1)∫_0^(π/2)cos(φ)^n dφ=(n−1)(I_(n−2)−I_n). I_n=(n−1)/n I_(n−2), I_0=π/2, I_1=1 По индукции можно доказать, что I_n=√π/2 Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2) База I_2/I_0=1/2 и I_3/I_1=2/3 Индукционный переход I_n/I_(n−2)=Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2) · Γ(n/2)/Γ((n−1)/2)=так как Γ((n+2)/2)=nΓ(n/2)/2= =(2/n)Γ((n+1)/2)/Γ((n−1)/2)=так как (n−1)Γ((n−1)/2)/2=Γ((n+1)/2) =(2/n)((n−1)/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+1)/2)=(n−1)/n