Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 4

1:17:10 Семейство функций {K(x, y)} по параметру x есть не что иное, как аппроксимативная единица. Это семейство слабо сходится к дельта-функции δ(y−y0) на границе шара при x→y0. И u(x)=∫_∂B K(x, y)φ(y)dS(y) сходится к φ(y0), как видно из выкладок, равномерно по y0. Обозначим ε>0, ε<1, x=εt, y,t∈∂B, K(εt, y)=K'ε(t, y)=(R^2−|εt|^2)/(ϰnR|εt−y|^n)=(R^2−R^2ε^2)/(ϰnR|y−εt|^n)=R(1−ε^2)/(ϰn|y−εt|^n), получилось семейство {K'ε(t, y)}.
φε(t)=∫_∂B K'ε(t, y)φ(y)dS(y), обозначим φn(t)=φ_(1−1/n)(t), тогда φn(t)→φ(t) при n→+∞ равномерно по t∈∂B.