Вы здесь

Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 10

Лекция
Предмет:
Дата записи:
19.11.21
Дата публикации:
23.11.21
Код для блога:

Другие лекции курса

12

Комментарии

Аватар пользователя Viktor

12:30 Применяя замену переменной в интеграле можно показать, что (−∞, +∞)_∫φ(x)dx=(−∞, +∞)_∫φ(x/ε)/ε dx. В случае когда φ(x)≥0, имеет компактный носитель и интегрируема на вещественной прямой, то семейство φ(x/ε)/ε будет дельтообразной последовательностью. В нашем случае φ(x)=1/π 1/1+x^2 не имеет компактный носитель, но будет образовывать дельтообразную последовательность, если выполняется свойство: для ∀δ>0 lim (−∞, −δ)∪(δ, +∞)_∫φ(x/ε)/ε dx=0, при ε→0.
Так как функция чётная, достаточно проверить lim (δ, +∞)_∫φ(x/ε)/ε dx=0.
После замены переменной (δ, +∞)_∫φ(x/ε)/ε dx=(δ/ε, +∞)_∫φ(x) dx,
так как φ(x) суммируема, то lim (δ/ε, +∞)_∫φ(x) dx=0 при δ/ε→+∞.
Проверим, что (−∞, +∞)_∫φ(x)dx=1, действительно (−∞, +∞)_∫1/1+x^2 dx=(arctan(+∞)−arctan(−∞))=π.
Следовательно семейство 1/πε(1+(x/ε)^2)=ε/π(ε^2+x^2) образует дельтообразную последовательность.
1:05:50 d/dr Br_∫h(y)dy= перейдём к повторному интегралу по радиусу и по сфере =
=d/dr [0, r]_∫ St_∫h(y)dS(y)dt=Sr_∫h(y)dS(y).
1:25:50 1) u1(t, x)=∂/∂t 1/4πc^2t (|x−y|=ct)_∫φ(y) dS(y), среднее_φ(x, ct)=1/4πc^2t^2 (|x−y|=ct)_∫φ(y) dS(y),
u1(t, x)=∂/∂t t·ср_φ(x, ct)=∂/∂t t/4π (|ω|=1)_∫φ(x+ctω) dS(ω)=ср_φ(x, ct)+ct/4π (|ω|=1)_∫∂φ(x+ctω)/∂(ct) dS(ω)=
=ср_φ(x, ct)+1/4πct (|x−y|=ct)_∫∂φ(y)/∂ν dS(y)=ср_φ(x, ct)+1/4πct (|x−y|≤ct)_∫Δφ(y)dy
⇒ u1(t, x)=ср_φ(x, ct)+O((ct)^2) ⇒ u1(0, x)=lim ср_φ(x, ct)=φ(x), при ct→0
∂/∂t u1(t, x)=∂^2/∂t^2 t·ср_φ(x, ct)=2∂/∂t ср_φ(x, ct)+t·∂^2/∂t^2 ср_φ(x, ct)=c/4πct (|x−y|=ct)_∫Δφ(y) dS(y)
так как ∂/∂t ср_φ(x, ct)=c/4πc^2t^2 (|x−y|≤ct)_∫Δφ(y)dy, ∂/∂t (|x−y|≤ct)_∫Δφ(y)dy=c(|x−y|=ct)_∫Δφ(y) dS(y)
⇒ u1'(t, x)=O(ct) ⇒ u1'(0, x)=0
u1''_tt−c^2 Δu1=∂/∂t ( 2ср_φ'_t+tср_φ''_tt−c^2t Δср_φ)=∂/∂t t( 2/t ср_φ'_t+ср_φ''_tt−c^2Δср_φ)
Уже по доказанному 1:24:00, по лемме 59:00, 2/t ср_φ'_t+ср_φ''_tt−c^2Δср_φ=0, надо просто ψ заменить на φ.
2) u3(t, x)=1/4πc^2 (|x−y|≤ct)_∫f(t−|x−y|/c, y)/|x−y| dy=t^2/4π (|ω|≤1)_∫f(t−|ω|t, x+ctω)/|ω| dω
⇒ u3(t, x)=O(t^2) ⇒ u3(0, x)=0
∂/∂t u3(t, x)=t/2π (|ω|≤1)_∫f(t−|ω|t, x+ctω)/|ω|dω+
+t^2/4π (|ω|≤1)_∫((1−|ω|)f'(t−|ω|t, x+ctω)+<∇f(t−|ω|t, x+ctω), cω>)/|ω|dω
⇒ u3'(t, x)=O(t)+O(t^2) ⇒ u3'(0, x)=0
u3(t, x)=[0, t]_∫ dτ/4πc^2(t−τ) (|x−y|=c(t−τ))_∫f(τ, y) dS(y)
Обозначим среднее_f(τ, x, c(t−τ))=1/4πc^2(t−τ)^2 (|x−y|=c(t−τ))_∫f(τ, y) dS(y),
u3(t, x)=[0, t]_∫ (t−τ)ср_f(τ, x, c(t−τ))dτ, так как (t−τ)ср_f(τ, x, c(t−τ))=O(c(t−τ)), то
∂/∂t u3(t, x)=[0, t]_∫∂/∂t (t−τ)ср_f(τ, x, c(t−τ))dτ=[0, t]_∫ср_f(τ, x, c(t−τ))+(t−τ)∂/∂t ср_f(τ, x, c(t−τ))dτ,
так как (t−τ)∂/∂t ср_f(τ, x, c(t−τ))=1/4πc(t−τ) (|x−y|≤c(t−τ))_∫Δf(τ, y)dy=O((c(t−τ))^2)
и lim ср_f(τ, x, c(t−τ))=f(t, x), при c(t−τ)→0, то
∂^2/∂t^2 u3(t, x)=f(t, x)+[0, t]_∫2∂/∂t ср_f(τ, x, c(t−τ))+(t−τ)∂^2/∂t^2 ср_f(τ, x, c(t−τ))dτ
c^2 Δu3(t, x)=[0, t]_∫ c^2(t−τ)Δср_f(τ, x, c(t−τ))dτ
u3''_tt−c^2 Δu3=f(t, x)+[0, t]_∫( 2ср_f'_t+(t−τ)ср_f''_tt−c^2(t−τ) Δср_f)dτ=
=f(t, x)+[0, t]_∫(t−τ)( 2/(t−τ)ср_f'_t+ср_f''_tt−c^2Δср_f)dτ=f(t, x)
По лемме 59:00 2/(t−τ)ср_f'_t+ср_f''_tt−c^2Δср_f=0, в качестве v(x)=f(τ, x) и r=c(t−τ).