Алгебры картановского типа

Классификация простых алгебр над (алгебраически замкнутыми) полями характеристики 0 классически известна и находилась в центре всей математики XX века. Эти алгебры образуют знаменитый список Картана—Киллинга, Al, Bl, Cl, Dl, E6, E7, E8, F4, G2. Значительно менее известна классификация простых алгебр Ли над полями положительной характеристики. Дело в том, что при этом кроме упомянутых выше классических простых алгебр появляются новые простые алгебры совершенно другой структуры, первые примеры которых были обнаружены Виттом, Цассенхаузом, Джекобсоном, Франк и другими.

В 1960-х годах Кострикин и Шафаревич единообразно истолковали все эти примеры как алгебры Картановского типа: общие Wl, специальные Sl, гамильтоновы Hl, и контактные Kl. В характеристике 0 эти алгебры тоже классически известны и интерпретируются как алгебры полиномиальных векторных полей, сохраняющие различные инварианты. Однако правильным аналогом многочленов над полями положительной характеристики являются вовсе не многочлены, а (конечномерные!) алгебры разделенных степеней, поэтому соответствующие алгебры становятся конечномерными.

Кострикин и Шафаревич сформулировали гипотезу о классификации простых алгебр над полями характеристики p>7, которая в дальнейшем блестяще подтвердилась. Вначале Блок, Уилсон и Штраде доказали эту гипотезу, а совсем недавно Штраде и Премет смогли распространить эту классификацию на все характеристики p>3, при этом появляется ровно один новый тип простых алгебр, алгебры Меликяна. В настоящее время школа Кузнецова близка к завершению классификации и в характеристике p=3, где возникает много дальнейших замечательных примеров.

Целью спецкурса является построение и изучение структуры алгебр картановского типа, а также их представлений и когомологий, до уровня необходимого, чтобы сформулировать классификацию простых модулярных алгебр Ли. При этом возникает масса совершенно новых явлений, не имеющих никаких аналогов в классической (конечномерной) теории в характеристике 0. Мы собираемся подробно обсудить нарушение полной приводимости, потерю жесткости, длинные градуировки, несопряженность подалгебр Картана и другие типичные бесконечномерные явления, которые в положительной характеристике возникают уже в конечномерной ситуации.

Никаких предварительных знаний в области теории алгебр Ли не предполагается, как обычно, мы начнем с краткого crash-course по классификации в характеристике 0 (параллельно Александр Лузгарев читает обстоятельный курс по классификации Картана—Киллинга, с полными доказательствами). Спецкурс должен быть понятен студентам начиная со 2-го курса и интересен для всех, кто до этого не сталкивался с неклассической (= неполупростой) теорией представлений.