Исключительные объекты в алгебре и геометрии

В свое время В.И.Арнольд разделил всю математику на три части («небесную механику, гидродинамику и теорию кодирования»), вещественную (=ортогональная группа), комплексную (=унитарная группа) и кватернионную (=симплектическая группа). Однако, в действительности в этой классификации пропущена четвертая часть математики, по крайней мере столь же важная и [более] интересная, а именно, октонионная математика. Хорошо известно, что все исключительные объекты в математике возникают по одной и той же причине, и тем или иным способом связаны с алгебрами октонионов (размерности 8), исключительными в том смысле, что они являются единственными конечномерными простыми альтернативными, но не ассоциативными алгебрами.

В спецкурсе планируется рассказать о различных манифестациях таких исключительных объектов, примерный список тем: исключительные изоморфизмы между группами типа Ли и другие исключительные явления, связанные с маленькими конечными группами, правильные многогранники размерностей 3 и 4, октонионы и алгебра Алберта (= исключительная йорданова алгебра размерности 27), исключительные алгебры Ли, исключительные йордановы пары, алгебра Брауна, муфанговы плоскости, исключительные однородные пространства (проективная плоскость октав и т.д.), поверхности дель Пеццо, и другие подобные исключительные объекты. Начинающему кажется, что наиболее интересен массовый случай, а не маленькие исключения. Однако в действительности в большинстве важных приложений возникают именно исключения, причем постоянно одни и те же! В спецкурсе мы как раз и постараемся детально понять природу, структуру и взаимосвязи таких исключительных объектов. Предполагается излагать большую часть материала в форме доступной студентам всех курсов, начиная со 2-го (а также способным школьникам и аспирантам). С другой стороны, многие рассматриваемые нами объекты и явления будут новыми даже для профессионалов.