Вы здесь

Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 2

Лекция Новинка
Предмет:
Дата записи:
08.09.21
Дата публикации:
14.09.21
Код для блога:

Комментарии

Аватар пользователя Viktor

1:33:15 Возьмём например борелевскую сигма алгебру B подмножеств из отрезка X=[−1,1] с их обычной длиной, но будем считать, что если в замыкание множества A из сигма алгебры B попадает ноль, то его длина равна μ(A)=+∞, когда 0∈Cl A. В этом случае следствие выполняется, потому что если какое-то μ(A_n) < +∞, то A_k ⊂[−1,1]\(0−ε, 0+ε), при некотором ε>0 и всех k ≥ n, а для индуцированной сигмы алгебры из Y=[−1,0−ε]∪[0+ε,1] обычная длина без модификации в точке нуль является просто мерой и для неё выполняется непрерывность сверху. Но модифицированная длина на всём отрезке [−1,1] мерой не является, так как не выполняется 3) условие из теоремы для последовательности таких множеств An=(0, 1/n], это монотонно убывающая последовательность с пустым пересечением, но lim μ(An)=+∞, n→+∞.

Аватар пользователя Viktor

Но модифицированная длина на всём отрезке [−1,1] мерой не является, так как не выполняется непрерывность снизу для последовательности таких множеств An=[1/n, 1], это монотонно возрастающая последовательность с длиной объединения μ(∪An)=μ((0, 1])=+∞, но lim μ(An)=1, n→+∞.