Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 7
Лекция- Математика
Другие лекции курса
Комментарии
![Аватар пользователя Feggie Аватар пользователя Feggie](https://www.lektorium.tv/sites/lektorium.tv/files/styles/userpic/public/userpic/picture-466290-1635519088.png?itok=JZ6BjlZ2)
Где остальные 2 часа?
![Аватар пользователя Viktor Аватар пользователя Viktor](https://www.lektorium.tv/sites/lektorium.tv/files/styles/userpic/public/userpic/picture-213056-1543007150.jpg?itok=lk-UDWaC)
1:15:00 Сделаем замену u^p=u', v^q=v', тогда неравенство перепишется как p_√u'·q_√v'≤u'/p+v'/q, возьмём логарифм от обеих частей неравенства, log(p_√u'·q_√v')=log(u')/p+log(v')/q≤log(u'/p+v'/q). Сумма u'/p+v'/q есть выпуклая комбинация точек u', v', неравенство Юнга следует из выпуклости подграфика функции логарифм.
![Аватар пользователя Viktor Аватар пользователя Viktor](https://www.lektorium.tv/sites/lektorium.tv/files/styles/userpic/public/userpic/picture-213056-1543007150.jpg?itok=lk-UDWaC)
2:04:00 Эту последовательность fn ограничивает функция 1/x, первообразная от которой логарифм и поэтому она не суммируема на полуинтервале (0, 1].
2:04:30 Это можно доказать одним махом от противного. Пусть противное и нет сходимости ∫fn dμ к интегралу ∫f dμ в аналогах обоих теорем Лебега и Леви, где сходимость функций предполагается по мере. Отсутствие сходимости означает, что существует подпоследовательность функций fn_k и ε>0, что |∫fn_k dμ − ∫f dμ|≥ε при ∀k (*). Из последовательности {fn_k} можно выделить подпоследовательность {fn_k_m}, которая сходится к f почти всюду и для неё уже справедливы исходные теоремы Лебега и Леви, то есть по ним ∫fn_k_m dμ → ∫f dμ, m→+∞, а это противоречит (*).
![Аватар пользователя Viktor Аватар пользователя Viktor](https://www.lektorium.tv/sites/lektorium.tv/files/styles/userpic/public/userpic/picture-213056-1543007150.jpg?itok=lk-UDWaC)
2:04:00 Эту последовательность fn ограничивает функция 1/x, первообразная от которой логарифм и поэтому она не суммируема на полуинтервале (0, 1].
2:04:30 Это можно доказать одним махом от противного. Пусть противное и нет сходимости ∫fn dμ к интегралу ∫f dμ в аналогах обоих теорем Лебега и Леви, где сходимость функций предполагается по мере. Отсутствие сходимости означает, что существует подпоследовательность функций fn_k и ε>0, что |∫fn_k dμ − ∫f dμ|≥ε при ∀k (*). Из последовательности {fn_k} можно выделить подпоследовательность {fn_k_m}, которая сходится к f почти всюду и для неё уже справедливы исходные теоремы Лебега и Леви, то есть по ним ∫fn_k_m dμ → ∫f dμ, m→+∞, а это противоречит (*).