Вы здесь

Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 7

Лекция
Предмет:
Дата записи:
13.10.21
Дата публикации:
15.10.21
Код для блога:

Другие лекции курса

10

Комментарии

Аватар пользователя Feggie

Где остальные 2 часа?

Аватар пользователя Viktor

1:15:00 Сделаем замену u^p=u', v^q=v', тогда неравенство перепишется как p_√u'·q_√v'≤u'/p+v'/q, возьмём логарифм от обеих частей неравенства, log(p_√u'·q_√v')=log(u')/p+log(v')/q≤log(u'/p+v'/q). Сумма u'/p+v'/q есть выпуклая комбинация точек u', v', неравенство Юнга следует из выпуклости подграфика функции логарифм.

Аватар пользователя Viktor

2:04:00 Эту последовательность fn ограничивает функция 1/x, первообразная от которой логарифм и поэтому она не суммируема на полуинтервале (0, 1].
2:04:30 Это можно доказать одним махом от противного. Пусть противное и нет сходимости ∫fn dμ к интегралу ∫f dμ в аналогах обоих теорем Лебега и Леви, где сходимость функций предполагается по мере. Отсутствие сходимости означает, что существует подпоследовательность функций fn_k и ε>0, что |∫fn_k dμ − ∫f dμ|≥ε при ∀k (*). Из последовательности {fn_k} можно выделить подпоследовательность {fn_k_m}, которая сходится к f почти всюду и для неё уже справедливы исходные теоремы Лебега и Леви, то есть по ним ∫fn_k_m dμ → ∫f dμ, m→+∞, а это противоречит (*).

Аватар пользователя Viktor

2:04:00 Эту последовательность fn ограничивает функция 1/x, первообразная от которой логарифм и поэтому она не суммируема на полуинтервале (0, 1].
2:04:30 Это можно доказать одним махом от противного. Пусть противное и нет сходимости ∫fn dμ к интегралу ∫f dμ в аналогах обоих теорем Лебега и Леви, где сходимость функций предполагается по мере. Отсутствие сходимости означает, что существует подпоследовательность функций fn_k и ε>0, что |∫fn_k dμ − ∫f dμ|≥ε при ∀k (*). Из последовательности {fn_k} можно выделить подпоследовательность {fn_k_m}, которая сходится к f почти всюду и для неё уже справедливы исходные теоремы Лебега и Леви, то есть по ним ∫fn_k_m dμ → ∫f dμ, m→+∞, а это противоречит (*).