Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 5

51:40 Получается, что композиция измеримых функций необязательно измерима. Для примера надо просто обратить Канторову лестницу. Если в области определения лестницы убрать троичнорациональные, а в образе двоичнорациональные числа, то лестница станет обратима. При этом выкидывание двоичнорациональных чисел из неизмеримого множества оставит его неизмеримость. Ещё нужно подумать, почему обратная лестница непрерывна. В множестве значений лестницы только последовательности к двоичнорациональным могут дать разные пределы соответствующих последовательностей прообразов, когда подходишь к числу с разных сторон, но наша обратная функция в этих точках не определена, поэтому и не страшно. В остальных точках непрерывность должна быть, потому что иначе её не было бы и у прямой лестницы. Вот есть какая-то сходящаяся последовательность чисел, в двоичной записи у её членов стабилизируются n двоичных разрядов, это n растёт и нет в конце бесконечной последовательности нулей или единиц, обратная лестница просто переделывает единицы в двойки троичной системы, где также идёт стабилизация уже троичных разрядов и ясно последовательность будет стремиться к какой-то точке Канторова множества с такой записью в троичной системе, где нет бесконечной последовательности нулей в хвосте.

Thanks for sharing new things about it. I appreciate this kind of information. Keep it up google feud