Вы здесь

Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 3

Лекция
Предмет:
Дата записи:
15.09.21
Дата публикации:
20.09.21
Код для блога:

Другие лекции курса

10

Комментарии

Аватар пользователя Viktor

54:00 Неравенство μ0*(A\E)≥∑μ0(Qk) следует из конечной аддитивности внешней меры на алгебре без единицы всех конечных объединений элементов полукольца. Множество A\E из алгебры или пусть ⨆Qk⊂A\E. Так как внешняя мера μ0* конечно аддитивна на алгебре, то μ0*(A\E)≥μ0*(⨆Qk)=∑μ0*(Qk)=∑μ0(Qk). Докажем конечную аддитивность внешней меры на алгебре. Пусть ⨆Qk⊂⨆Fi есть счётное покрытие элементами полукольца конечного объединения, ε+μ0*(⨆Qk)>∑μ0(Fi)≥ так как Fi⋂(⨆Qk)⊂Fi ≥ ∑_i μ0(⨆_k(Fi⋂Qk))=по конечной аддитивности меры=∑_i ∑_k μ0(Fi⋂Qk)=меняем индексы i,k и применяем счётную аддитивность=∑_k μ0(⨆_i(Qk⋂Fi))= так как Qk⊂⨆Fi =∑μ0(Qk)=∑μ0*(Qk). Индекс k пробегает конечные значения, а i − счётные. Устремляем ε→0 и получаем μ0*(⨆Qk)≥∑μ0*(Qk).
59:50 Неравенство в одну сторону очевидно μ*(A)≤μ0*(A), так как для построения μ* инфинум берётся по более широкому семейству покрытий множества A. Докажем неравенство в другую сторону, пусть A⊂Fε покрытие элементом сигма алгебры измеримых множеств, что 2ε+μ*(A)>ε+μ(Fε)= так как μ сужение внешней меры =ε+μ0*(Fε)> существует покрытие элементами полукольца Fε⊂⨆Pk > ∑μ0(Pk)≥ так как это одно из покрытий A⊂⨆Pk по которым берётся инфинум ≥ μ0*(A). Устремляем ε→0 и получаем μ*(A)≥μ0*(A).
1:57:30 Меры λ^m просто ячеек и λ_q^m ячеек с рациональными концами порождают одну и ту же внешнюю меру. Неравенство λ^m*(A)≤λ_q^m*(A) очевидно, так как ячейки с рациональными концами являются подмножеством обычных и для поиска λ^m*(A) инфинум берётся по более широкому семейству покрытий. В другую сторону A⊂⨆Pk, 2ε+λ^m*(A)>∑ε/2^k+∑λ^m(Pk)=∑(λ^m(Pk)+ε/2^k)≥ ( пошевелили ячейки Pk⊂P'k, λ^m(P'k)≤λ^m(Pk)+ε/2^k ) ≥∑λ^m(P'k)= ячейка P'k с рациональными концами = ∑λ_q^m(P'k)≥λ_q^m*(A). После ε→0 и получаем λ^m*(A)≥λ_q^m*(A). Поэтому продолжения мер с обычных ячеек и с рациональных полностью совпадают.