Вы здесь

Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 4

Лекция
Предмет:
Дата записи:
22.09.21
Дата публикации:
30.09.21
Код для блога:

Другие лекции курса

8

Комментарии

Аватар пользователя Viktor

58:30 А на расширенной комплексной плоскости для компактности достаточно одной замкнутости.
1:11:34 Существует разложение ℝ^m\E=e⨆∪Kn, K1⊂K2⊂...⊂Kn⊂..., обозначим Gn=ℝ^m\Kn, это открытые множества, вложенные Gn+1⊂Gn и ⋂Gn=⋂ℝ^m\Kn=ℝ^m\∪Kn=ℝ^m\(ℝ^m\(E⨆e))=E⨆e ⇒ E=⋂Gn\e.
2:09:10 Я так понимаю мера Лебега любого симплекса вычисляется без интегрирования лишь при n≤3. Например из произвольного треугольника и его копии можно составить параллелограмм, потом отрезав и добавив в другое место прямоугольный треугольник можно получить ячейку, мера треугольника равна половине площади получившейся ячейки. Доказать, что мера Лебега параллелепипеда равна произведению n−1 меры основания на высоту. Отрезаем треугольную призму и добавляем в другое место, получается параллелепипед с прямоугольником в основании, потом отрезая четвёрку треугольных призм и переставляя получается ячейка с некоторым объёмом, он равен произведению площади основания исходного параллелепипеда на высоту, потому что наши манипуляции не меняли высот и площадей основания получающихся многогранников. Для произвольного n надо доказывать через представимость параллелепипеда в виде двух симплексов, а меру симплекса искать через интеграл или сразу интегрировать по высоте, зная меру основания.

Аватар пользователя Viktor

Доказать, что мера Лебега параллелепипеда равна произведению n−1 меры основания на высоту. Для n=3 отрезаем треугольную призму и добавляем в другое место, получается параллелепипед с прямоугольником в основании, потом, отрезая другую треугольную призму и переставляя, остаётся параллелепипед с прямоугольником в основании, но теперь пара боковых граней параллельна одной из координатных плоскостей. Наконец, отрезая ещё одну треугольную призму и переставляя, получается ячейка с некоторым объёмом, он равен произведению площади основания исходного параллелепипеда на высоту, потому что наши манипуляции не меняли высот и площадей оснований получающихся шестигранников. Наверно эту процедуру можно провести как-то аналогично для произвольного n, 1) сделать из основания n−1 ячейку не меняя высоты, 2) добиться, чтобы боковые n−1 грани были параллельны координатным гиперплоскостям, но проще искать через интеграл по высоте, зная меру основания. Теперь видно, что объём параллелепипеда зависит линейно от длины каждого вектора-ребра, также себя ведёт модуль определителя, умноженного на константу. Константу можно найти через объём единичного куба.